点到直线的距离———教学设计 【教学内容分析】 《点到直线的距离》内容选自人教版选择性必修1第二章第三节第三小节，从本节课内容上看，点到直线的距离公式是研究点与线、线与线，以及线与圆位置关系的桥梁，在本章起到承上启下的作用，为研究两直线的位置关系及曲线和曲线之间的关系等整个解析几何奠定基础，因此学好本节内容，对后面的学习将起到事半功倍的效果.从学生的认知基础看，学生对点、线的几何和代数表示以及两点间距离公式都很熟悉，本节课利用所学知识进行公式推导，其运算或繁琐或难度较大，但公式推广应用比较简单，其中包含的运算能力是解析几何学习中学生尤其需要掌握的核心素养，所以让学生参与数学公式推理的建构过程，调动学生积极探索公式的形成显得尤为重要. 推导方法的不同，均展现了解析几何解决问题的一般思想方法： 主讲应用方法1利用坐标法将点到直线的距离转化为两点之间的距离，其思路为：直线的方程 直线的斜率 直线的斜率 直线的方程 点坐标 ，由特殊到一般推导点到直线的距离公式，思路简单但是求解的过程中计算繁琐；提示学生方法2，3课后自行完成推导，方法2利用向量知识中的投影向量的模来推导，需要学生扎实掌握向量的有关知识；方法3利用三角形的面积进行等量代换，需要学生熟练掌握点到直线之间的距离公式. 点到直线距离公式 代数法 坐标法 构造直角三角形 向量法 （求垂足坐标） 【教学目标】 （1）经历利用坐标法推导点到直线的距离公式的过程，知道点到直线之间距离公式的特点，深化公式的应用，体会数形结合、特殊与一般、分类讨论的数学思想，发展直观想象、数学运算、逻辑推理的素养； （2）经历向量法和三角形的面积进行等量代换推导点到直线的距离公式思路的引导，掌握用向量法推导的分析过程，体会向量法与坐标法，三角形面积法的差异，能比较三种方法的不同特点，进一步体会数形结合，等量代换的数学思想，发展直观想象、数学运算、逻辑推理的素养； （3）经历求解、转化、归纳的过程，领会数学的严谨性，培养勇于探索的科学精神. 【教学重、难点】 教学重点：点到直线的距离公式. 教学难点：点到直线的距离公式的推导. 【教学过程】 任务一：点到直线之间的距离推导 问题1：直线外一点到直线的距离是什么？ 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 问题2：试求点，到直线的距离？ 学生不难发现，点到直线的距离就是点、垂足两点之间的距离，点线问题此时就转化成了点点问题.启发学生画出思维导图如下： 分析思路： 解题过程： 直线的方程 直线的方程 直线的斜率 直线的斜率 点坐标 直线的斜率 直线的斜率 直线的方程 直线的方程 直线的方程 点坐标 点坐标 点坐标 的距离（点到直线的距离） 垂线与直线垂直，直线的斜率为-1，可得垂线的斜率1. 由此，求得垂线方程为， 解方程组： 则，利用两点间距离公式 ， ， 到的距离为 . 将上述分析的过程反过来就是解题的过程，从特殊到一般，给出点和直线的一般形式，提出问题3. 问题3：如图，已知点，直线，如何求到直线的距离？ 分析：要求点到直线的距离，根据上面的分析思路设计一系列问题串，需过点P作PQ垂直于l交直线l于Q.此时，点与垂足间的垂线段距离即为所求. 追问1：上一问给出具体点和方程，按照上一问的思考过程，如何推导一般的点到直线之间的距离呢？ 步骤1：求垂线的斜率 利用两点间距离公式，确定P，Q点的坐标. 其中，P点坐标已知，需求Q的坐标. 步骤2：求垂线的方程 点是直线与垂线的交点， 点坐标 所以联立两条直线方程求交点坐标. 步骤3：求出点的坐标 已知一点，再求出的斜率， 直线的方程 即可写出的点斜式方程. 步骤4：求出的距离 垂线与直线垂直，直线的斜率为， 直线的斜率 可得垂线的斜率. ... ...
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