2.2.3 一元二次不等式的解法 课件（19页） 2025-2026学年人教B版（2019）高中数学必修第一册

2.2.3 一元二次不等式的解法 第二章 1.了解一元二次不等式的概念. 2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法:因式分解法和配方法. 3.会解简单的分式不等式. 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件? 设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12-x)m. 由题意得(12-x)x>20，其中x∈{x|00的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. 如何求解一元二次不等式？ 探讨如何解不等式： （1）x(x－1)＞0； （2）(x＋1)(x－1)＜0. 分析：ab＞0? 或 ； ab＜0? 或 . 解：（1）x(x－1)＞0? 或 ， 因此x(x－1)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞). 探讨如何解不等式： （2）(x＋1)(x－1)＜0. （2）(x＋1)(x－1)＜0? 或 ， 解得x∈?或－1＜x＜1， 因此(x＋1)(x－1)＜0的解集为(－1，1). 一般地，如果x1＜x2，那么 (x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)， (x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． 探讨如何解不等式： （1）x2＜－1；（2）x2＞－2；（3）x2＜9；（4）x2＞4. 解：因为任何一个实数的平方一定为非负数，所以（1）的解集为?，（2）的解集为R； （3）因为x2＜9，所以 ，即|x|＜3， 所以不等式的解集为(－3，3)； （4）因为x2＞4，所以|x|＞2，即x＞2或x＜－2， 因此－3＜x＜3， 所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 例1 解下列关于x的不等式(组): (1)3x+a>0； (2)?????5>1+2???? ①3????+2≤4????? ? ②. ? 解：(1)由3x>-a，得x>-????3，∴不等式的解集为?????3，+∞. (2)解不等式①得x<-6，解不等式②得x≥2， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为?. ? 2.一元二次不等式的解法 (1)因式分解法: 如果x10的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞). (2)配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)20； (2)-2x2+5x-2<0. 解：(1)∵x2-10x-600=(x+20)(x-30)， ∴原不等式等价于(x+20)(x-30)>0， 因此所求解集为(-∞，-20)∪(30，+∞). (2)∵-2x2+5x-2=-2????2?52????+1 =-2?????542?916=-2?????542+98， ∴-2?????542+98<0，即?????542>916. ∴x-54>34或x-54<-34， 解得x>2或x<12. ∴原不等式的解集为?∞，12∪(2，+∞). ? 归纳总结 第一步:首先把各项系数变为整数，二次项系数变成正数； 第二步:分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式的形式； 第三步:写出不等式的解集. 解一元二次不等式的一般步骤 例2 解关于x的不等式ax2+(-a+1)x-1>0(a≥0). 解：原不等式化为(x-1)(ax+1)>0. 当a=0时，原不等式可化为x-1>0，解得x>1; 当a>0时，原不等式可化为(x-1)????+1????>0， 解得x>1或x<-1????， 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当a>0时，不等式的解集为????????>1或????0与(x-3)(x+2)>0等价吗??????3????+2≥0与(x-3)(x+2)≥0等价吗? ? ?????3????+2>0与(x-3)(x+2)>0等价； ?????3????+2≥0与(x-3)(x+2)≥0不等价， 前者的解集中没有-2，后者的解集中有-2. ? 例3 求不等式2?????13?4????<1的解集. ? 解：原不等式可化为2?????13?4????-1<0，即3?????24?????3>0. 等价于(3x-2)(4x-3)>0. 解得x<23或x>34. ∴原不 ... ...