2.1.1 倾斜角与斜率（课件 学案 练习）高中数学人教A版 选择性必修第一册

2.1.1　倾斜角与斜率 学习目标　1.了解直线的倾斜角和斜率的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 一、直线的倾斜角 问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 问题2　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 知识梳理 1.倾斜角的定义： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴　　　　与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为　　　　. 2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为　　　　　　　　. 例1　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 反思感悟　直线倾斜角的概念和范围 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的范围. 跟踪训练1　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　　　　　. (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　. 二、直线的斜率 问题3　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α的正切与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(－1，1)，P2(，0)，α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？ 知识梳理 1.把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的　　　　叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝　　　　. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝　　　　　　　，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在. 3.直线的方向向量与斜率的关系： (1)直线P1P2的方向向量＝(x2－x1，y2－y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为＝(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1). 例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)P(－3，1)，Q(－3，10)； (3)M(2，4)，N(－3，4). 反思感悟　求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2). 跟踪训练2　(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为　　　　. (2)若过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　　　. (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为　　　　 . 三、倾斜角和斜率的应用 问题4　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？ 知识梳理　设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 不存在 k的增减性 随α的增大而　　 随α的增大而　　 例3　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 反思感悟　倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 跟踪训 ... ...