【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 1.1.2 空间向量基本定理 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.1.2　空间向量基本定理 学习任务 1．理解共线向量基本定理、共面向量定理以及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(数学抽象) 2．理解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念，并能应用其解决有关问题．(数学运算) 在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而实现将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p？ 知识点1　共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得_____． 共线向量基本定理中的a≠0这一条件不能去掉，若b＝λa可得b∥a，反之，若b∥a，当a＝0且b≠0时，b＝λa就不成立了． 知识点2　共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在_____的实数对(x，y)，使c＝_____． [拓展]　如图所示，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y；或对空间任意一点O，有＝＋x＋y；或对空间任意一点O，有＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)． 知识点3　空间向量基本定理 (1)定理：如果空间中的三个向量a，b，c_____，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝_____． 特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0. (2)相关概念 ①线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的_____或_____． ②基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}． ③基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量． ④分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量应满足什么条件？ _____ (1)由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量这一条件． (2)一组基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则{－a，b，2c}也可构成空间的一组基底． (　　) (2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基底，则a，b，c共面． (　　) (3)若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一组基底． (　　) 2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间的一组基底的是(　　) A．　　　　 B． C． D． 3．已知O为空间中任意一点，若＝，则A，B，C，P四点(　　) A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面 4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CC1D1D的中心，且＝＋m－n，则m＝_____，n＝_____． 类型1　共线向量基本定理的应用 【例1】　(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D　　　　　 B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D (2)设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上 C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D．与的方向一定相同 (3)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝_____． [尝试解答]_____ _____ 　证明空间三点共线的三种思路 对于空间三 ... ...