【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.2 圆的一般方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.3.2　圆的一般方程 学习任务 1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(数学抽象) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(数学运算、直观想象) 3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(数学运算) 钻石又名金刚石，提起它的大名，应该说很少有人会不知道，在大自然中，还有另一种与钻石成分一模一样，但用途却完全不同的物质———石墨． 钻石和石墨的成分都是碳，但是因为碳元素间的结构不同，决定了这一对孪生兄弟有了截然不同的命运． 数学上也有因为结构不同而造成“用�———�不同的“物质”，如本节课要学习的圆的一般方程就是圆的方程的另外一种形式． 问题1：把圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？ 问题2：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ 知识点1　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0左边配方，并将常数项移到右边得 ＋＝． (1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为_____，半径为_____的圆． (2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点_____． (3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形． 知识点2　圆的一般方程 (1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． (2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征． 1．圆的一般方程的特点是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．如何判断点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)圆的标准方程与一般方程可以互化． (　　) (2)方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程． (　　) (3)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程． (　　) (4)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆． (　　) 2．已知m是实数，若方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为(　　) A．(－∞，20)　　　 B．(－∞，5) C．(5，＋∞) D．(20，＋∞) 3．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为_____． 类型1　求圆的一般方程 【例1】　【链接教材P107例1】 已知△ABC顶点的坐标为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求其外接圆的一般方程． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　关于圆的一般方程 (1)圆的一般方程更体现方程的特点，只要求出系数D，E，F即可； (2)当已知圆上三个点时，求圆的一般方程比较简便． 提醒：如果由已知条件确定圆心和半径较容易，那么可以求圆的标准方程． [跟进训练] 1．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_____． 　　　　　　　　　　　　 ... ...