【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.6 2.6.2 双曲线的几何性质 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．6.2　双曲线的几何性质 学习任务 1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．(直观想象) 2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象) 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(数学运算) 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四个顶点，离心率的范围是(0，1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度．双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！ 知识点1　双曲线的几何性质 标准 方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 性质 图形 焦点 _____ _____ 焦距 __ 范围 _____或____，y∈_ _____或____，x∈_ 性质 对称性 对称轴：_____；对称中心：____ 顶点 _____ _____ 轴 实轴：线段____，长：__； 虚轴：线段____，长：__ 离心率 e＝∈_____ 渐近线 1．能否用a，b表示双曲线的离心率？ _____ _____ _____ _____ _____ 2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线斜率的绝对值与离心率e有何关系？双曲线的离心率e的几何意义是什么？ _____ _____ _____ _____ _____ 知识点2　等轴双曲线 实轴长与虚轴长____的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线方程是_____，离心率e＝． 等轴双曲线方程的特征是a＝b，则等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝． (　　) (2)双曲线＝1与＝1(a＞0，b＞0)的形状相同． (　　) 2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是(　　) A．＝1　　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 3．已知双曲线的方程为＝1，则该双曲线的离心率e等于_____． 类型1　根据双曲线的方程研究其几何性质 【例1】　【链接教材P153例1】 求双曲线＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ [母题探究]　(变条件)若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　由双曲线方程研究其几何性质的注意点 (1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键． (2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程． (3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为半虚轴长． (4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．如过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝． (5)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆． [跟进训练] 1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型2　由双曲线的几何性质确定标准方程 【例2】　求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x； (3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程． [思路导引]　 [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　利用双曲线的几何性质求方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)几种特殊的双曲线方程的设法： ①已知渐近线方程 渐近线方程为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)； 渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线的方程可设为_____． ②共渐近线(离心率)的方程 与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线(离心率)的双曲线方程可 ... ...