【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.7 2.7.2 抛物线的几何性质 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．7.2　抛物线的几何性质 学习任务 1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(直观想象) 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(数学运算) 3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．(数学运算) 如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点．应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线———抛物线的几何性质． 知识点1　抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图形 性质 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R x∈R， y≥0 x∈R， y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 _____ 离心率 e＝_ 1．抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有哪些不同？ _____ _____ _____ _____ _____ 2．过抛物线焦点F且垂直于对称轴的线段有什么特征？参数p对抛物线开口大小有什么影响？ _____ _____ _____ _____ 知识点2　焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y2＝2px(p＞0) |AB|＝_____ y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p＞0) |AB|＝_____ x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2) [拓展]　焦点弦的几何性质 如图，已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，点F是抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，过A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，M(x0，y0)为AB的中点，MM′⊥CD于点M′，N为准线l与x轴的交点，可以证明以下结论： (1)A，O，D三点共线，且B，O，C三点共线． (2)AM′⊥BM′，CF⊥DF，M′F⊥AB． (3)以AB为直径的圆与准线相切(切点为M′)， 以CD为直径的圆与AB相切(切点为F)， 以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (4)∠ANF＝∠BNF． (5)|AF|＝＝． (6)|AB|＝x1＋x2＋p＝2． (7)y1y2＝－p2，x1x2＝＝． (8)kOA·kOB＝－4，p2． (9)． (10)S△AOB＝． (11)焦点弦长|AB|＝2p． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)抛物线y2＝2px(p>0)的p越大，抛物线的开口越小． (　　) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切． (　　) (3)过抛物线y2＝2px的焦点作与对称轴垂直的直线，与抛物线交于A，B两点，则|AB|＝2p． (　　) 2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　) A．(6，＋∞)　　 B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) 　 D．[3，＋∞) 3．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为_____ ． 4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝_____． 类型1　由抛物线的几何性质求标准方程 【例1】　【链接教材P164例1】 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝＝3，求此抛物线的标准方程． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　利用抛物线性质求方程 (1)首先利用抛物线的定义、对称性等进行转化，得到系数或坐标的关系； (2)利用求出的系数或者列出相应的方程(组)求出系数后写方程． 提醒：焦点在x轴上的抛物线可以设为y2＝mx(m≠0)；焦点在y轴上的抛物线可以设为x2＝my(m≠0)． [跟进训练] 1．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程． _____ _____ _____ _____ _____ 类型2　抛物线的最值问题 【例2】　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距 ... ...