【学霸笔记：同步精讲】第五章 §3 3.1 组合 3.2 组合数及其性质 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

§3　组合问题 3.1　组合 3.2　组合数及其性质 学习任务 核心素养 1．理解组合及组合数的定义．(重点) 2．掌握组合数公式，并会应用求值．(难点) 1．通过对组合及组合数的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对组合数公式的应用，培养数学运算素养． 1．从1，2，3，5这四个数字中，任选两个数做加法，试写出所有不同的结果． 2．问题1中1＋2与2＋1是不同结果吗？这说明什么问题？ 1．组合及组合问题 组合 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合问题 有关求组合的个数的问题 2．排列与组合的异同点 相同点 都是关于从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的计数问题 不同点 排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序，即只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合 3．组合数、组合数公式及其性质 组合数 从n个不同元素中取出m(mn，且m，n∈N+)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(mn，且m，n∈N+)个元素的组合数，用符号表示 公 式 乘积式 ＝ 阶乘式 ＝ 性质 性质1　 性质2　 规定 ＝1 组合数公式与排列数公式有何联系？ [提示]　按照分步乘法计数原理，从n个元素中取m(mn)个元素进行排列，可分两步进行：第1步，从n个元素中先取m个元素，有种选法；第2步，把选出的m个元素进行全排列有种排法．所以从n个不同元素中取m个不同元素进行排列有种方法，所以． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)元素相同的两个组合即为同一组合． (　　) (2)若组合式＝，则x＝m成立． (　　) ＝＋． (　　) ． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何3个村庄在一条直线上，现要在该社区内建造“村村通”工程，共需建公路的条数为(　　) A．4　　　 B．8　 C．28　　　 D．64 C　[共需要建＝28条公路．] ．＋＝_____． 36　[＋＝15＋21＝36．] 4．已知＝＋，则＝_____． 91　[由＝＋，得2·， 整理得n2－21n＋98＝0， 解得n＝7或n＝14，又n≥12， 所以n＝14， 于是＝＝＝91．] 类型1　组合的概念 【例1】　判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10个人相互写一封信，共写出了多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？ (5)从10个人中选出3人担任3个不同学科的课代表，有多少种选法？ [解]　(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为＝90． (2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为＝45． (3)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为＝45． (4)是组合问题，因为选出的3个人之间没有顺序的区别，组合数为＝120． (5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为＝720． 　区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序，而区分事件有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，若对结果产生影响，即说明有顺序，是排列问题；若对结果没有影响，即说明无顺序，是组合问题． [跟进训练] 1．给出下列问题： (1)在北京、上海和广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？ (2)在北京、上海和广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票价？(往返票价相同) (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长和学习委员3个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全 ... ...