类型1 离散型随机变量分布列及应用 1．离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况． 2．求离散型随机变量分布列的步骤 第一步，确定随机变量X的所有可能取值； 第二步，求出随机变量X取每一个值时相应的概率； 第三步，列表． 【例1】 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示摸球终止时所需要的取球次数． (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X的分布列； (3)求甲取到白球的概率． [思路点拨] (1)可由概率求出白球的个数；(2)先确定随机变量的取值，再求出概率，得出分布列；(3)甲可能在第一次、第三次和第五次取到白球． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ 类型2 离散型随机变量的均值与方差 1．均值和方差都是随机变量的两个重要的数字特征，方差是建立在均值基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛．离散型随机变量的均值与方差在实际问题特别是风险决策中有着重要意义． 2．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)由均值与方差的定义求出EX，DX． 3．若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)． 【例2】 A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为． (1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的均值与方差． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ 类型3 事件的相互独立与二项分布的应用 1．独立事件是相互之间无影响的事件，P(AB)＝P(A)P(B)是事件A，B独立的充要条件． 2．n重伯努利试验中，某事件A恰好发生k次的概率P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，其中随机变量X服从二项分布． 【例3】 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8，回答第三题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望； (2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率． [思路点拨] 本题解题的关键是明确ξ的取值及ξ取不同值时所表示的试验结果，明确ξ的取值后，利用相互独立事件的概率公式计算即可． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ 类型4 正态分布的应用 正态分布在实际生产生活中有着广泛的应用，在解题中注意求准正态分布中的参数μ，σ，熟练掌握随机变量在三个区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率，并结合正态分布密度曲线的性质解决实际问题． 【例4】 在某次语文考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90，100)． (1)试求考试成绩X位于区间(70，110]上的概率是多少？ (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100]间的考生大约有多少人？ [思路点拨] 正态分布已确定，则μ和σ可求出，这样就可以根据正态分布的三个常见的区间上取值的概率进行 ... ...
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