【学霸笔记：同步精讲】第三章 §4 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

§4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 学习任务 核心素养 1．理解直线的方向向量和平面的法向量及其意义．(重点) 2．会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点、难点) 1．通过对直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学抽象素养． 2．通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养直观想象与数学运算素养． 1．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线吗？可以确定唯一一条过点A且垂直于向量a的直线吗？ 2．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面吗？可以确定唯一一个过点A且平行于向量a的平面吗？ 1．直线的方向向量 设l是空间一直线，A，B是直线l上不重合的任意两点，则称为直线l的_____． 如图所示，已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ta．把这个式子称为直线l的向量表示． 2．平面的法向量 (1)如果一条直线l与一个平面α垂直，那么把直线l的方向向量n叫作平面α的_____． 如图所示，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有·n＝0．把此式称为平面α的一个向量表示式． 直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？ _____ _____ _____ (2)在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有＝(x－x0，y－y0，z－z0)，则方程_____，称为平面α的方程． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)一条直线有无穷多个方向向量，这些向量都是共线向量． (　　) (2)一个平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量． (　　) (3)直线的单位方向向量有两个，它们是相反向量． (　　) 2．若点A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6)　　 B．(－1，1，3) C．(3，1，1) 　 D．(－3，0，1) 3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝_____． 类型1　直线的方向向量及应用 【例1】　在空间直角坐标系O-xyz中，已知直线l过点A，其方向向量为n＝． (1)求直线l的向量表达式； (2)求直线l与坐标平面xOy的交点B的坐标． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．求直线的方向向量时，要充分利用几何体中的平行关系，平行直线的方向向量共线． 2．在空间中，过点A，方向向量为n的直线可以表示为＝＋tn． [跟进训练] 1．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有(　　) A．8个　　　　　 B．7个 C．6个 　 D．5个 类型2　求平面的法向量 【例2】　【链接教材P122例4】 求△ABC所在平面的单位法向量，其中A(－1，－1，0)，B(1，1，1)，C(3，4，3)． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如； (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (3)联立方程并求解； (4)所求向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)，便可得到平面的一个法向量． [跟进训练] 2．四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．在如图所示的坐标系A-xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． _____ _____ _____ 类型3　平面的法向量的应用 【例3】　已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1，1) 　　　 B． C． 　 　 D． [尝试解 ... ...