【学霸笔记：同步精讲】第五章 §4 4.1 二项式定理的推导 课件--2026版高中数学北师大版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第五章　计数原理 §4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 学习任务 核心素养 1．能用计数原理证明二项式定理．(难点) 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(重点、难点) 1． 借助二项式定理的证明，培养逻辑推理素养． 2．通过二项式定理的应用，提升数学运算素养． 1．我们知道(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2．如何用组合知识来解释a2，ab，b2的系数 2．仿照上述过程，你认为(a＋b)3，(a＋b)4的展开式是什么 必备知识·情境导学探新知 1．二项式定理 公式(a＋b)n＝an-1b＋…＋an-kbk＋…＋bn(n∈N+)叫作二项式定理． 2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式； (2)各项的系数(k∈{0，1，2，…，n})叫作二项式系数； (3)展开式中的_____叫作二项式通项，记作_____，它表示展开式的第____项； (4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝_____． 思考　(1＋2x)n的二项展开式是什么 其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么 [提示]　(1＋2x)n＝(2x)2＋(2x)3＋…＋(2x)n． 其第5项的二项式系数为，第5项的系数为24＝16． an-kbk Tk+1 k＋1　 x2＋…＋xk＋…＋xn × √ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1an-kbk是二项展开式的第k项． (　　) (2)(a＋b)n的展开式中任一项的二项式系数与a，b均无关． (　　) (3)(a＋b)n的展开式中共n项． (　　) (4)(2a－3b)n某项的系数是该项的数字因数，与该项的二项式系数不同． (　　) × √ 2．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　) A．2n　　　　 B．2n＋1 C．2n－1　　 D．2(n＋1) √ B　[展开式的项数比二项式的指数大1，故选B．] 3．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为_____． x4　[(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝(x＋1)4＋(x＋1)3(－1)1＋(x＋1)2(－1)2＋(x＋1)(－1)3＋(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4．] x4　 4．在的展开式中，常数项是_____． 15　[展开式的通项为Tk+1＝5-k，令k＝0，得k＝1，∴常数项为×3＝15．] 15 关键能力·合作探究释疑难 类型1　二项式定理的正用与逆用 【例1】　(1)求的展开式； (2)求值＋…＋3n-1． [思路点拨]　(1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解． [解]　(1)法一：＝(34＋(33(32(3． 法二：(1＋3x)4 ＝[1＋(3x)2＋(3x)3＋(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝＋54＋108x＋81x2． (2)原式＝(3＋…＋3n ＝×1n-2×32＋…＋3n－1) ＝[(1＋3)n－1]＝． 反思领悟　1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是： (1)各项的次数都等于n； (2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n． 2．逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢． [跟进训练] 1．求的展开式． [解]　法一：(2x)5＋(2x)4(2x)3(2x)2(2x． 法二： ＝(4x3)5＋(4x3)4(－3)＋(4x3)3(－3)2＋(4x3)2(－3)3＋(4x3)(－3)4＋(－3)5] ＝32x5－120x2＋． 2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． [解]　原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)＋－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1． 类型2　利用通项公式求二项展开式中的特定项 角度1　求二项展开式中的特定项 【例2】　已知在的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [思路点拨]　利用展开式中 ... ...