【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.4 2.4.2 圆的一般方程 课件--2026版高中数学人教A版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第二章 直线和圆的方程 2.4　圆的方程 2.4.2　圆的一般方程 [学习目标]　 1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象) 2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算) 3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 问题2．二元二次方程什么情况下可以表示圆？ 问题3．圆的一般方程与圆的标准方程之间可以互相转化吗？ 探究建构 关键能力达成 探究1　圆的一般方程 问题　把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0． 可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？ [提示]　将x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得，＋＝，当D2＋E2－4F＞0时表示圆，当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点，当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． [新知生成] 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_____叫 做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心， _____为半径的圆． x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 【教用·微提醒】　(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． (2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件． [学以致用]　1．下列方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，说明理由． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－x＝0； (4)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)． [解]　(1)2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆． (3)法一：因为D2＋E2－4F＝(－1)2＝1＞0， 所以方程表示圆，圆心坐标为， 即，半径r＝＝． 法二：方程x2＋y2－x＝0可化为＋y2＝，它表示以为圆心，为半径的圆． (4)因为D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，表示点(－a，0)，所以原方程不表示圆． 探究2　求圆的一般方程 [典例讲评]　【链接教材P86例4】 1．已知点A(－2，1)，B(－1，0)，C(2，3)，D(a，3)四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为_____． 　[设过A，B，C三点的圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 由已知得解得 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0，又因为点D在此圆上，所以a2＋32－4×3－1＝0，解得a2＝4，所以点D到坐标原点O的距离为＝＝．] [母题探究]　若点M(x0，0)在过A，B，C三点的圆内，求x0的取值范围． [解]　由M(x0，0)在圆内，得－1＜0， 解得－1＜x0＜1，所以x0的取值范围是(－1，1)． 【教材原题·P86例4】 例4　求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． [分析]　将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程． [解]　设圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． ① 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0． 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r＝＝5． 反思领悟　待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋E ... ...