【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.4 第1课时 二项式定理 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

4.4　二项式定理 第1课时　二项式定理 学习任务 核心素养 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点) 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点) 1．通过对二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养． 观察以下各式： (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， … 它们的系数之间有何规律？各项系数与我们学过的组合数有何联系？那么(a＋b)n的展开式又是什么？ 知识点1　二项式定理 (a＋b)n＝bn． (1)上述公式称为二项式定理； (2)右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，一共有n＋1项； (3)各项的系数(其中0rn，r∈N，n∈N＋)叫作二项式系数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在二项式定理公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) an－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 等于(　　) A．2n B．2n－1 C．3n D．1 C　[原式＝(2＋1)n＝3n．] 知识点2　二项展开式的通项公式 式中an－rbr叫作二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项为展开式的第r＋1项，Tr＋1＝an－rbr． 1．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？ [提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项是否相同？ [提示]　不同．(a＋b)n展开式中第r＋1项为an－rbr，而(b＋a)n展开式中第r＋1项为bn－rar． 3．(1)(1－x)10展开式中x3项的系数为(　　) A．－720 B．720 C．120 D．－120 (2)(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为_____，第3项的二项式系数为_____． (1)D　(2)40　10　(－x)3＝－120x3． (2)∵T3＝(2x)2＝22x2＝40x2， ∴第3项的系数为40，第3项的二项式系数为＝10．] 类型1　二项式的展开式 【例1】　【链接教材P197例1】 (1)求的展开式； (2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2)． [解]　(1)法一：＝＝81x2＋108x＋54＋． 法二：＝＝(1＋3x)4 ＝(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋54＋108x＋81x2． (2)原式＝(x－2)0－1 ＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1． 【教材原题·P197例1】 例1　求的展开式． [解]　＝＝(3x－1)4 ＝(－1)4] ＝(81x4－108x3＋54x2－12x＋1) ＝81x2－108x＋54－． 　求二项展开式的常见思路 (1)简单的二项式问题，直接运用二项式定理展开． (2)较复杂的二项式问题，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便． (3)含负号的二项展开式形如(a－b)n的展开式中会出现正、负间隔的情况． [跟进训练] 1．(1)用二项式定理展开； (2)化简：． [解]　(1)法一：＝ ＝32x5－120x2＋． 法二：＝＝(－3)5] ＝·(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243) ＝32x5－120x2＋． (2)原式＝＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn． 类型2　求展开式中的特定项 【例2】　已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162． (1)求n的值； (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． [解]　(1)因为T3＝)n-2＝， T2＝)n-1＝， 依题意，得＝162，所以＝81， 所以n2＝81，n＝9． (2)设第r＋1项含x3项， 则Tr＋1＝)9-r＝， 所以＝3，r＝1， 所以第二项为含x3的项，T2＝x3＝－18x3． 二项式系数为＝9． [母题探究] 1．(变设问)在本 ... ...