【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.2 1.2.1 等差数列及其通项公式 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

1.2　等差数列 1.2.1　等差数列及其通项公式 学习任务 核心素养 1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点) 1．通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养． 2．借助等差数列的判断与证明，培养逻辑推理素养． 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…． 思考：第30排有多少个座位？ 知识点1　等差数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋) 1．等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？ [提示]　因为第1项的前面没有任何项了． 2．在数列{an}中，若an＝2n＋3，该数列是等差数列吗？ [提示]　因为an＋1－an＝[2(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝2(常数)，所以该数列{an}是等差数列． 知识点2　等差中项 在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项． 3．观察下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0． [提示]　插入的数分别为3，2，，0． 知识点3　等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d． 在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，a7＝_____． 28　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28．] 类型1　等差数列的通项公式 【例1】　【链接教材P13例1】 (1)已知a7＝，d＝－2，求a1； (2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75． [解]　(1)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝． (2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得 故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24． 法二：∵a60＝a15＋(60－15)d， ∴d＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24． 法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b．由a15＝8，a60＝20得解得∴a75＝75×＋4＝24． 【教材原题·P13例1】 例1　已知数列{an}是等差数列． (1)如果a1＝5，a2＝2，求公差d和a3； (2)如果a3＝5，a2＝2，求公差d和a10． [解]　由等差数列的定义，可知 (1)公差d＝a2－a1＝－3，a3＝a2＋d＝－1． (2)公差d＝a3－a2＝3，a1＝a2－d＝－1，故a10＝a1＋(10－1)d＝－1＋9×3＝26． 　求等差数列的通项公式的两种思路 (1)设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式． (2)已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式． 注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式． [跟进训练] 1．(1)在等差数列{an}中，若a1＝2，a2＝4，则a4＝(　　) A．6　　　　B．8　　　　C．16　　　　D．32 (2)在数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两实根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝_____． (1)B　(2)3　[(1)因为等差数列{an}中，a1＝2，a2＝4，所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，则a4＝a1＋3d＝2＋3×2＝8． (2)因为a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两实根，所以a3＋a10＝3．又因为{an}是等差数列，所以a5＋a8＝a3＋a10＝3．] 类型2　等差中项的应用 【例2】　(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是_____． (2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． (1)6　[由题意得 ∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6．] (2)[解]　∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3． 又a是－1与3的等 ... ...