【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.3 1.3.1 等比数列及其通项公式 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

1.3　等比数列 1.3.1　等比数列及其通项公式 学习任务 核心素养 1．理解等比数列的概念．(重点) 2．掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用．(重点、难点) 3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 1．通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养． 2．借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养． 传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么．发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒，……按这样的规律放满64格棋盘格．国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了．结果弄得国王倾尽国家财力还不够支付．同学们，这几粒麦子，怎能让国王赔上整个国家的财力？ 知识点1　等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之__都等于_____，那么这个数列称为等比数列．这个常数叫作等比数列的____，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋) 等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． (　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　) (3)常数列一定为等比数列． (　　) 知识点2　等比中项 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成____数列，则G称为a与b的等比中项． 当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.2＋和2－的等比中项是(　　) A．1　　　 B．－1　　 　C．±1　　 　D．2 知识点3　等比数列的通项公式 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝_____． 3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝_____． 类型1　等比数列通项公式的基本运算 【例1】　【链接教材P26例1】 在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．“知三求一”型，等比数列通项公式涉及四个量a1，n，q，an，已知其中的三个可以求出第四个，其中a1与q是基本量． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)整体代换法，充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [跟进训练] 1．在等比数列{an}中． (1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； (2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 ... ...