【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.6 2.6.1 直线与圆的位置关系 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.6.1　直线与圆的位置关系 学习任务 核心素养 1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点) 3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． 我们已经知道，在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可．那么，能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？ 知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ [提示]�———�几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． 直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　 B．相切 C．相离 D．相切或相交 A　[圆心到直线的距离d＝＝1<4，所以直线与圆相交，故选A．] 类型1　直线与圆的位置关系的判定 【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点？ (2)只有一个公共点？ (3)没有公共点？ [解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简整理得 (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0， Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0时，即－0或m<－时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2时，即－0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离． (2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离． [跟进训练] 1．(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A．l与C相交　　　　 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 (2)设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切 (1)A　(2)C　[(1)将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3，0)在圆内． ∴过点P的直线l必与圆C相交． (2)圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝＝(m－2＋1)＝－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．] 类型2　直线与圆的相切问题 【例2】　(1)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为_____． (2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，求直线l的方程． (1)15x＋8y－36＝0或x＝4　[因为＝17>1， 所以点A ... ...