【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.7 用坐标方法解决几何问题 课件--2026版高中数学湘教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第2章 平面解析几何初步 2.7　用坐标方法解决几何问题 学习任务 核心素养 1．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究几何问题．(重点) 2．进一步掌握用解析法处理平面几何问题．(难点) 1．通过利用坐标法解决几何问题，培养数学运算素养． 2．借助于几何问题与代数运算的相互转化，培养直观想象素养． 有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽多少米？ 如何才能正确地解决上述问题？ 必备知识·情境导学探新知 知识点　坐标法及其应用 (1)坐标法的定义：平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用____表示，将直线与圆等曲线用____表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法． (2)用代数方法解决几何问题的基本过程： 坐标 方程 体验　一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y0) D．随建立直角坐标系的变化而变化 D　[没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．] √ 类型1　用坐标法证明几何问题 【例1】　△ABD和△BCE是边AB，BC在直线AC上且位于直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|． 关键能力·合作探究释疑难 [证明]　如图，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系． 设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，则 A(－a，0)，E，C(c，0)，D， 于是|AE|＝ ＝＝， |CD|＝ ＝＝． 所以|AE|＝|CD|． 反思领悟　用坐标法解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关量． 第二步：进行有关代数运算． 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． [跟进训练] 1．已知等腰△ABC中，AB＝BC，P是底边AC上的任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，CD⊥AB于点D．求证：|CD|＝|PE|＋|PF|． [证明]　如图所示，以AC的中点为原点，AC为x轴建立平面直角坐标系，设A(a，0)，B(0，b)，C(－a，0)，其中a>0，b>0． 则直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0，直线BC的方程为bx－ay＋ab＝0． 设底边AC上任意一点为P(x，0)(－axa)， 则|PE|＝＝，|PF|＝＝，|CD|＝＝， ∵|PE|＋|PF|＝＝ ＝|CD|， ∴|CD|＝|PE|＋|PF|． 类型2　利用坐标法求动点的轨迹方程 【例2】　已知坐标平面上点M与两个定点M1，M2的距离之比等于5． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中的轨迹为C，线段AB，点A为C上一点，点B，求AB的中点P的轨迹方程． [解]　(1)由題意可得：＝5 ＝5， 即x2＋y2－2x－2y－23＝0 ＋＝25． 故所求轨迹是以为圆心，5为半径的圆． (2)设P，A．∵B且AB的中点为P， ∴ ∵点A为C上一点，∴＋＝25， 即＋＝25，故＋＝，即为所求的轨迹方程． 反思领悟　1．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系． 2．求动点的轨迹方程的一般方法有：定义法、直接法和代入法． [跟进训练] 2．已知过点P(2，2)的直线l和圆C：(x－1)2＋y2＝6交于A，B两点． (1)若AB⊥PC，求直线l的方程； (2)若Q为圆C上的任意一点，求线段PQ中点M的轨迹方程． [解]　(1)由题意，C(1，0)且P在圆C内， ∴由AB⊥PC知：kAB·kPC＝－1， 而kPC＝＝2，得kAB＝－， ∴直线l：y－2＝－(x－2)，整理得x＋2y－6＝0． (2)设M(x，y)，又M为PQ中点，即Q(2x－2，2y－2)， ∵Q为圆C上的任意一点， ∴(2x－3)2＋(2y－2)2＝6，整理得＋(y－1)2＝． 即M的轨迹方程为＋(y－1)2＝． 类型3　坐标法的实际应用 【例3】　树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只 ... ...