【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.3 1.3.3 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 课件--2026版高中数学湘教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第1章 数列 1.3　等比数列 1.3.3　等比数列的前n项和 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 学习任务 核心素养 1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(重点) 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点) 3．能用分组转化法求数列的和．(重点、易错点) 1．通过等比数列前n项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理素养． 2．借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养数学运算素养． 在等比数列{an}中，当q≠1时，Sn＝＝．可以把Sn写成Sn＝Aqn－A的形式，这是等比数列前n项和的性质之一．对比等差数列前n项和的性质，那么等比数列的前n项和还有其他哪些性质？ 必备知识·情境导学探新知 知识点　等比数列前n项和的性质 (1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是____数列． (2)性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则＝__． ②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N＋)，则＝q． ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比是____． 等比 q qm 体验　1．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n-1＋k，则实数k的取值是_____． －　[由题知{an}是等比数列， ∴3n的系数与常数项互为相反数， 而3n的系数为，∴k＝－．] －　 体验　2．一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为(　　) A．63　　　　B．108　　　　C．75　　　　D．83 A　[因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n…成等比数列，题中Sn＝48，S2n＝60，S2n－Sn＝12，根据等比中项性质有S3n－S2n＝＝3，则S3n＝S2n＋(S3n－S2n)＝63．] √ 类型1　等比数列前n项和性质的应用 【例1】　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为 (　　) A．28　　B．32　　C．21　　D．28或－21 (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝_____． 关键能力·合作探究释疑难 √ 24 尝试与发现 (1)发现S2，S4，S6之间的关系，可以直接求出S4；也可以试着用公式，直接解决． (2)尝试用＝q，S奇＋S偶＝S2n求解． (1)A　(2)24　[(1)法一：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21． ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28． 法二：由条件可以看出q≠1，∴S2＝，S4＝，S6＝，∴＝1＋q2＋q4．又S6＝91，S2＝7， ∴q4＋q2－12＝0，即q2＝3．又＝1＋q2． ∴S4＝S2(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28． (2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80， S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79．则＝q＝3，即S1＝3S2． 又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24． 即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24．] [母题探究] 1．(变条件)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． [解]　法一：设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， 所以所以或 (舍去)，所以S4n＝30． 法二：∵Sn＝2，S3n＝14，∴q≠1． ∴Sn＝，S3n＝ ＝， ∴＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴qn＝2， 又S4n＝，∴＝(1＋q2n)(1＋qn)． ∴S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30． 2．(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． [解]　法一：∵S99＝＝56，q＝2， ∴a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32． 法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97， b2 ... ...