2.2.3 一元二次不等式的解法 学习目标 1.理解一元二次不等式的定义.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式,提升数学抽象、数学运算的核心素养. 2.了解简单的分式不等式,并会求其解集,培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 情境导入 学校要在长为8,宽为6的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分).为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半. 探究:花卉带的宽度x满足的不等式是什么 答案:花卉带的宽度x(0×8×6,整理得x2-7x+6>0. 知识探究 1.一元二次不等式的概念 一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≤”“≥”等. [思考1] (1)不等式x2+>0是一元二次不等式吗 (2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗 提示:(1)不是,一元二次不等式一定为整式不等式. (2)不可以,若a=0,就不是二次不等式了. 2.用因式分解法解一元二次不等式 一般地,如果x10的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞). 3.用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)20 k=0 k<0 (x-h)2 >k 转化为|x-h|>, 解集为(-∞,h-) ∪(h+,+∞) (-∞,h)∪ (h,+∞) R (x-h)2 0 (ax+b)(cx+d)>0. (2)≤0 ≥0 [思考2] 当分式右侧不为0时,怎样求解 提示:可通过移项、通分合并的手段将右侧变为0,再求解. “三个二次”的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相异实根 x1,x2(x10 (a>0)的解集 (-∞,x1)∪(x2,+∞) {x|x≠-} R 一元二次不等式 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 (x1,x2) 探究点一 一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式: (1)2x2+7x+3>0; (2)x2-4x-5≤0; (3)-4x2+18x-≥0; (4)x2-3x+4>0. 解:(1)因为Δ=72-4×2×3=25>0, 所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3, x2=-. 所以原不等式的解集为{x|x>-或x<-3}. (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0, 解得-1≤x≤5, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. (3)原不等式可化为(2x-)2≤0, 解得x=. 所以原不等式的解集为{}. (4)x2-3x+4>0其相应方程x2-3x+4=0的判别式为Δ=(-3)2-4×4=-7<0, 所以不等式x2-3x+4>0的解集为R. 解一元二次不等式的方法 方法一:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集; 方法二:若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,则不等式的解集易得; 方法三:若上述两种方法均不能解决,则采用判别式法. [针对训练] 求下列不等式的解集. (1)x2-5x+6≤0; (2)-2x2+5x-3≤0; (3)x2-6x+9>0; (4)x2-x+<0. 解:(1)原不等式即为(x-2)(x-3)≤0,解得2≤x≤3, 故原不等式的解集为{x|2≤x≤3}. (2)将原不等式变形为2x2-5x+3≥0, 即(2x-3)(x-1)≥0,解得x≤1或x≥, 故原不等式的解集为{x|x≤1或x≥}. (3)将原不等式变形为(x-3)2>0,解得x≠3,故原不等式的解集为{x|x≠3}. (4)不等式x2-x+<0,即为(x-)2<0,所以原不等式的解集为 . 探究点二 解含参数的一元二次不等式 [例2] 解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0). 解:原不等式移项得ax ... ...
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