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课件网) 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 「学习目标」 1.理解算术平均值与几何平均值的概念，达成数学抽象的核心素养. 2.掌握均值不等式,明确均值不等式成立的条件,达成数学运算的核心素养. 3.会用均值不等式证明不等式、比较大小，培养逻辑推理的核心素养. 4.会用均值不等式求解实际应用题，培养数学建模的核心素养. 知识梳理 自主探究 「知识探究」 算术平均值 几何平均值 不小于 课堂探究 素养培育 探究点一 利用均值不等式求最值 D 16 探究点二 利用均值不等式证明不等式 方法总结 （1）利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过 将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果. （2）注意多次运用均值不等式时等号能否取到. 探究点三 均值不等式的实际应用 方法总结 在应用均值不等式解决实际问题时，应把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； 在自变量有意义的前提下，求出函数的最大值或最小值，根据实际背景写出答案. ［针对训练］ 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有 的墙，其他各面用钢筋网围成. 【学海拾贝】 均值不等式在恒成立（有解）问题中的应用 AD B 「当堂检测」 1.下列命题正确的是( ) D C 2 「备用例题」 B A.3 B.4 C.5 D.6 C 62.2.4 均值不等式及其应用 学习目标 1.理解算术平均值与几何平均值的概念,达成数学抽象的核心素养. 2.掌握均值不等式,明确均值不等式成立的条件,达成数学运算的核心素养. 3.会用均值不等式证明不等式、比较大小,培养逻辑推理的核心素养. 4.会用均值不等式求解实际应用题,培养数学建模的核心素养. 知识探究 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值;数 称为a,b的几何平均值. 2.均值不等式 如果a,b都是正数,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立. 均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a,b还可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 重要不等式:当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. [思考] 均值不等式中的a,b只能是具体的某个数吗 提示:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式. 3.均值不等式的应用 (1)当两个正数的积为常数时,它们的和有最小值. (2)当两个正数的和为常数时,它们的积有最大值. (1)均值不等式的变形:ab≤()2,a+b≥2(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立). (2)均值不等式成立的条件:a>0且b>0;其中等号成立的条件:当且仅当a=b时,取等号,即若a≠b,则≠,即只能有<. 探究点一 利用均值不等式求最值 [例1] (1)已知m,n>0,且m+n=16,求mn的最大值; (2)已知x>3,求y=x+的最小值; (3)设x>0,y>0,且2x+y=1,求+的最小值. 解:(1)因为m,n>0,且m+n=16, 所以由均值不等式可得 mn≤()2=()2=64, 当且仅当m=n=8时,mn取到最大值64. 所以mn的最大值为32. (2)因为x>3, 所以x-3>0,>0, 于是y=x+=x-3++3≥ 2+3=7, 当且仅当x-3=,即x=5时,y=x+取到最小值7. (3)法一 因为x>0,y>0,2x+y=1, 所以+=+=3++≥3+2=3+2, 当且仅当=,即y=x时,等号成立, 解得x=1-,y=-1, 所以当x=1-,y=-1时,+有最小值3+2. 法二 +=(+)·1=(+)(2x+y)=3++≥3+2=3+2, 以下同法一. 利用均值不等式求最值的方法 (1)若是求“和”式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求“积”式的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式. (2)利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子,将“1”代入后再利用均值不等式求最值.一般地,形如或可化为:已知+=k(k≠0)求ma+nb(mn≠0,下同)的最值;已知a+b=k(k≠0),求+的最值,常用此法. [针对训练] (1)若0
