第2课时 充要条件 基础巩固 1.“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 若两个三角形全等,则两个三角形的面积相等,即充分性成立. 若两个三角形的面积相等,则两个三角形不一定全等,即必要性不成立. 故“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的充分不必要条件.故选A. 2.若p:-1≤x≤2,q:-1≤x≤1,则p为q的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 p:-1≤x≤2,q:-1≤x≤1, 则pq,但q p, 故p为q的必要不充分条件.故选C. 3.“x<”是“2x<3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 由2x<3,得x<,而<,故由“x<”可以推出“2x<3”.反之,由“2x<3”不能推出“x<”. 所以“x<”是“2x<3”的充分不必要条件.故选A. 4.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是( ) A.ab=0 B.ab>0 C.ab≥0 D.ab≤0 【答案】 C 【解析】 当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab<0时,|a+b|<|a|+|b|.则等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是ab≥0.故选C. 5.(多选题)设全集U,则下列四个命题中是“A B”的充要条件的命题是( ) A.A∩B=A B. UA UB C.( UB)∩A= D.( UA)∩B= 【答案】 ABC 【解析】 A∩B=A A B,故A满足条件. UA UB A B,故B满足条件. ( UB)∩A= A B,故C满足条件. 由( UA)∩B=,可得B A,不能推出A B,故“( UA)∩B=”不是“A B”的充要条件,故D不满足条件.故选A,B,C. 6.a,b中至少有一个不为零的充要条件是( ) A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 【答案】 D 【解析】 对于A,a,b中至少有一个不为零,可以a,b都不为0,而由ab=0,可得a=0或b=0,因此不满足条件. 对于B,a,b中至少有一个不为零,a,b可以有一个为0;而ab>0,可得a,b都不为0,不满足条件. 对于C,由a2+b2=0,可得a=b=0,不满足条件. 对于D,由a2+b2>0 a,b中至少有一个不为零.故选D. 7.若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件,则实数k的取值范围是 . 【答案】 (-∞,-3) 【解析】 因为x>k是-3≤x<2的必要不充分条件,所以[-3,2) (k,+∞). 所以k<-3. 8.请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空: (1)“m=1或3”是“函数y=为二次函数”的 条件. (2)“△ABC是锐角三角形”是“∠ABC为锐角”的 条件. 【答案】 (1)充要 (2)充分不必要 【解析】 (1)当函数y=为二次函数时,m2-4m+5=2,即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3.故“m=1或3”是“函数y=为二次函数”的充要条件. (2)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形, 所以△ABC是锐角三角形可推出∠ABC为锐角;反过来,∠ABC为锐角,无法确定其他两个角是不是锐角,故推不出△ABC是锐角三角形. 所以“△ABC是锐角三角形”是“∠ABC为锐角”的充分不必要条件. 9.已知a+b≠0,求证:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1. 【证明】 充分性: 若a+b=1,则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立. 必要性: 若a2+b2-a-b+2ab=0, 则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0. 因为a+b≠0,所以a+b-1=0, 即a+b=1,必要性成立. 综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是 a+b=1. 10.已知下列是关于x的方程(m∈Z). ①mx2-4x+4=0, ②x2-4mx+4m2-4m-5=0. 求方程①和②都有整数解的充要条件. 【解】 方程①有实数解的充要条件是m=0或 解得m≤1. 方程②有实数解的充要条件是Δ2=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-, 所以-≤m≤1. 而m∈Z,故m=-1或m=0或m=1. 当m=-1时,①即-x2-4x+4=0,无整数解; 当m=0时,②即x2-5=0,无整数解; 当m=1时,①x2-4x+4=0有整数解x=2, ②x2-4x-5=0有整数解x=-1或x=5, 从而①②都有整数解. 所以①②都有整数 ... ...
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