第2课时 对数函数性质的应用 【课程标准要求】 通过运用对数函数的性质解决相关问题,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 题型一 对数函数的单调性及应用 角度1 利用单调性比较大小 [例1] 比较下列各题中两个数的大小. (1)lo0.2与log21.2; (2)log43与log0.250.5; (3)log3与log5; (4)log1.11.7与log0.21.7. 【解】 (1)lo0.2=lo=log25. 因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数, 所以log25>log21.2, 所以lo0.2>log21.2. (2)因为log0.250.5=lo=log42
log0.250.5. (3)log3=log32-log33=log32-1, log5=log56-1. 因为log56>log33=1>log32, 所以log56>log32,所以log32-1log1.11=0, log0.21.7log0.21.7. 比较两个对数值大小的方法 (1)logab与logac型(同底数). ①构造函数y=logax; ②判断b与c的大小关系; ③利用y=logax的单调性比较大小. (2)logac与logbc型(同真数). ①在同一平面直角坐标系中作出y=logax与 y=logbx的图象; ②作直线x=c与两图象分别交于A,B两点; ③根据A,B点高低判断对数值的大小. (3)logab与logcd型(底数不同,真数不同). ①取中间值,通常为1,0,logad或logcb; ②把两个对数值与中间值进行比较; ③利用不等关系的传递性,间接得到对数值的大小关系. [变式训练] 比较下列各题中两个数的大小: (1)loga2.7,loga2.8(a>0,且a≠1); (2)log34,log65; (3)log0.37,log97. 【解】 (1)当a>1时,由函数y=logax的单调性可知loga2.7loga2.8. (2)log34>log33=1,log65log65. (3)log0.37log91=0, 所以log0.37log2(1-x); (2)若loga<1,求实数a的取值范围. 【解】 (1)原不等式等价于 解得01,则loga<1=logaa,a>,所以a>1. 若0logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解. (3)形如logf(x)a>logg(x)a[f(x),g(x)>0且不等于1,a>0]的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解. [变式训练] 函数y= 的定义域为( ) A.[-,0)∪(,1] B.(-,0)∪(,1] C.[-,0)∪(,1) D.(-,0)∪(,1) 【答案】 A 【解析】 由题可知log0.5(4x2-3x)≥0, 由对数函数的单调性,可得0<4x2-3x≤1, 解得-≤x<0或0 x2-6x+5<0,解得10得x>5或x<-1, 所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞), 因为y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增, 所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5. 故选D. 形如f(x)=logag(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集[也就是函数f(x)的定义域]. (2)当底数a>1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间,g(x ... ... 