【课程标准要求】 1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念,提升数学抽象的核心素养.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题,提升数学运算的核心素养.3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 知识点一 相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)= P(A)P(B). [思考1] 不可能事件与任何一个事件相互独立吗 提示:相互独立.不可能事件的发生对任何一个事件发生的概率没有影响. [思考2] 必然事件与任何一个事件相互独立吗 提示:相互独立.必然事件的发生对任何一个事件发生的概率没有影响. 知识点二 相互独立事件的性质 如果两个事件相互独立,那么把其中一个换成它的对立事件,这样的两个事件仍然相互独立. 知识拓展 (1)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). (2)互斥事件与相互独立事件的区别与联系. 项目 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A,B同时发生,记作AB A与B互斥,记作AB= (或A∩B= ) 计算 公式 P(AB)=P(A)·P(B) 若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B) (3)涉及相互独立事件A,B有关的概率计算公式. 事件A,B发 生的情形 概率计算公式 A,B同时发生 P(AB)=P(A)P(B) A,B都不发生 P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) A,B中至少 有一个不发生 P(B++A)=1-P(AB)=1-P(A)P(B) A,B中至少 有一个发生 P(A+B+AB)=1-P()=1-P()P()=P(A)+P(B)-P(A)P(B) A,B中恰有 一个发生 P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()·P(B)=P(A)+P(B)-2P(A)P(B) 题型一 相互独立事件的判断 [例1] 袋内有3个白球和2个黑球,这5个球除颜色外完全相同,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为B,“第二次摸得黑球”记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是( ) A.A与B,A与C均相互独立 B.A与B相互独立,A与C互斥 C.A与B,A与C均互斥 D.A与B互斥,A与C相互独立 【答案】 A 【解析】 标记1,2,3表示3个白球,4,5表示2个黑球,所有样本点为{(11),(12),(13),(14), (15),(22),(23),(24),(25),(33),(34),(35),(44),(45),(21),(31),(41),(51),(32),(42),(52),(43),(53), (54),(55)}, 用古典概型概率计算公式易得P(A)==,P(B)==,P(C)==.而事件AB表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”,所以P(AB)==×=P(A)P(B),所以A与B相互独立.同理,事件AC表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”, P(AC)==×=P(A)P(C),所以A与C相互独立.故选A. 判断事件是否相互独立常用的两种方法 (1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B). (2)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. [变式训练] 有6个完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 【答案】 B 【解析】 P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)==, P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),P(甲丁)==P(甲)P(丁), P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁). 故选B. 题型二 相互独立事件同时发生的概率 [例2] 甲、乙、丙3人同时应聘某用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为,,,且各自能否被选中互不影响. (1)求3人同时被选中的概率; (2)求 ... ...
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