【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.1 2.1.1 等式的性质与方程的解集 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 学习任务 1．能够从具体实例中探索等式的性质并会应用．(逻辑推理) 2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(数学运算) 3．会用十字相乘法分解因式，会求方程的解集．(数学运算) 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图①)，将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图②)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证是你已经学习过的哪个等式？ 知识点1　等式的性质 性质(1)：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立． 用符号语言和量词表示为：如果a＝b，则对任意c，都有_____． 性质(2)：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 用符号语言和量词表示为：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有_____． 等式还具有如下性质： (1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a． (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换)． 知识点2　恒等式 1．恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取_____时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 2．常见的代数恒等式 (1)(a＋b)2＝_____， (a－b)2＝a2－2ab＋b2． (2)a2－b2＝_____． (3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， a3－b3＝_____． (4)(a＋b＋c)2＝_____． 3．十字相乘法 (1)给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝_____．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要_____，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 代数式x2＋Cx＋D能进行因式分解的条件是C2－4D≥0． (2)用“十字相乘法”分解因式： ①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解； ②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解． 1．十字相乘法分解因式的关键是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点3　方程的解集 1．方程的有关概念 方程 含有_____的等式叫方程 方程的解(或根) 能使方程左右两边____的未知数的值叫方程的解(或根) 方程的解集 把一个方程2所有解组成的____称为这个方程的解集 解方程 求方程的解的过程叫解方程 2．一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程 满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1 表示形式 ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0) 2．把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若＝，则x＝y． (　　) (2)若x＝y，则＝． (　　) (3)若x＋a＝y－a，则x＝y． (　　) (4)若x＝y，则ax＝by． (　　) (5)若x－m＝y－m，则x＝y． (　　) (6)用因式分解法解方程时部分过程为： (x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2． (　　) (7)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25． (　　) (8)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4)． (　　) 2．式子x2＋3x－18分解因式的结果是(　　) A．(x－6)(x＋3)　 B．(x＋6)(x－3) C．(x－2) ... ...