【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.1 不等式及其性质 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 学习任务 1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等式的概念．(数学抽象) 2．理解实数比较大小的基本事实，初步学会用作差法比较两个实数的大小．(逻辑推理、数学运算) 3．认识并证明不等式的性质及推论，能利用不等式的性质证明简单的不等式．(数学抽象、逻辑推理) 如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志： 其含义分别为 ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h． ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t． ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m． ④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m． ⑤时间范围：t∈[7.5，10]． 问题　你能用含不等号的数学式子表示上述关系吗？ 知识点1　不等关系与不等式 1．不等式的定义 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些_____的式子，称为不等式． 2．比较两个实数(代数式)的大小 作差法的理论依据： a－b＜0 ____； a－b＝0 ____； a－b＞0 ____． 3．比较两个实数大小的方法 方法 依据 结论 画数轴比较法 实数与数轴上的点一一对应；如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x) 数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大 作差比较法 如果a－b>0，那么____； 如果a－b<0，那么ab a＋c__b＋c 可逆 性质2 可乘性 ac__bc c的符号 性质3 ac__bc 性质4 传递性 a>b，b>c ____ 同向 性质5 对称性 a>b ____ 可逆 推论1 移项法则 a＋b>c a__c－b 可逆 推论2 同向可加性 a＋c__b＋d 同向 推论3 同向同正可乘性 ac__bd 同向同正 推论4 可乘方性 a>b>0 an__bn(n∈N，n>1) 同正 推论5 可开方性 a>b>0 同正 (1)推论2可以推广为更一般的结论：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d． 如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点3　证明问题的常用方法 方法 定义 综合法 从_____出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 分析法 从要证明的____出发，_____使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 反证法 首先假设结论的____成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实等矛盾． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d． (　　) (2)若a＞b，则＜． (　　) (3)若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞． (　　) (4)已知a＞b，e＞f，c＞0，则f－ac＜e－bc． (　　) (5)综合法是从结论 ... ...