【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.4 第1课时 均值不等式 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 学习任务 1．能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式．(数学抽象) 2．能够利用求差法推导均值不等式，理解均值不等式的几何意义．(逻辑推理、直观想象) 3．明确均值不等式的形式及等号成立的条件，会用均值不等式证明一些简单的不等式．(逻辑推理、数学运算) 实验室有一架两臂不等长的天平，一位同学先将5 g的砝码放在天平右盘中，取出一些物品放在天平左盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平左盘中，再取出一些物品放在天平右盘中使天平平衡． 问题　两次称得的物品的质量是10 g吗？如果不是，两次称得的物品的质量比10 g大还是比10 g小？为什么？ 知识点1　重要不等式 对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点2　算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值． 知识点3　均值不等式 1．均值不等式：如果a，b都是正数，那么，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． 3．均值不等式的常见变形 (1)当a＞0，b＞0，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)若a＞0，b＞0，则ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立． (1)均值不等式中的a，b只能是具体的数吗？ (2)均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？ [提示]　(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． (2)不能．如a＝－3，b＝－4，均值不等式不成立． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2． (　　) (2)6和8的几何平均数为2． (　　) (3)若a≠0，则a＋≥2＝2． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是_____． 2　[xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．] 3．已知x＞0，则y＝x＋＋2的最小值是_____． 2＋2　[∵x＞0，＞0，∴y＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．] 类型1　对均值不等式的理解 【例1】　给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＝－≤－2＝－2． 其中正确的推导为(　　) A．①②　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ B　[①∵a，b为正实数，∴为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确； ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的； ③由xy＜0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．] 　均值不等式使用的条件 在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”： 一正，a，b均为正数； 二定，不等式一边为定值； 三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解． [跟进训练] 1．(多选)已知a，b均为正实数，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥3 B．(a＋b)≥4 C．≥a＋b D． BC　[对于A，a＋b＋≥2≥2<3，当且仅当a＝b＝时等号同时成立；对于B，(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号； 对于C，＝a＋b，当且仅当a＝b时取等号； 对于D，当a＝，b＝时，＝＝＝>， 所以<．] 类型2　利用均值不等式比较大小 【例2】　已知a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，试比较a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，的大小． [解]　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac．① ∴a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．② ①式两边分别加上a2＋b2＋c2，得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1， ∴a2＋b2＋c2≥． ②式两边分别加上2ab＋2ac＋2bc，得 3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1， ∴ab＋bc＋ca≤． 综上，a2＋b2＋c2≥≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c＝时等号 ... ...