【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.1 3.1.1 第2课时 函数的表示方法 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

第2课时　函数的表示方法 学习任务 1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(数学抽象) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(数学抽象) 3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(直观想象、数学运算) 4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(数学建模) (1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式． (2)如下图是某中学升学率的变化曲线： (3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表： 污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01 问题　根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么方法表示函数的． 知识点1　函数的表示方法 对3种表示法的说明 解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域 列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性 图象法 图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点 1．任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？ [提示]　不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 知识点2　用集合语言对函数的图象进行描述 (1)定义：将函数y＝f (x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即F＝{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}． (2)F是函数y＝f (x)的图象，必须满足下列两条： ①图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f (x)； ②满足函数关系y＝f (x)的点(x，y)都在函数的图象F上． 知识点3　分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 2．分段函数是一个函数还是几个函数？ [提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数． 分段函数的定义域、值域和图象 (1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集． (2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集． (3)图象：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数y＝的定义域为(－∞，1]． (　　) (2)函数y＝|x|不是分段函数． (　　) (3)常数函数的图象是垂直于x轴的直线． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× [提示]　(1)分段函数y＝的定义域为(－∞，1]∪(1，＋∞)＝R． (2)函数y＝|x|＝是分段函数． (3)常数函数的图象是垂直于y轴的直线． 2．已知函数f (x)由下表给出，则f (f (3))＝_____． x 1 2 3 4 f (x) 3 2 4 1 1　[由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1．] 3．已知函数f (x)＝则f (3)＝_____． 　[因为3>0，所以f (3)＝．] 4．已知函数y＝f (x)的对应关系如表所示， x 1 2 3 f (x) 3 2 1 函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则g(f (2))的值为_____，f (g(2))的值为_____． 1　3　[由f (x)的表格可得f (2)＝2，则由函数图象可知g(f (2))＝g(2)＝1，由函数图象可知g(2)＝1，由表格可知f (1)＝3，故f (g(2))＝3．] 类型1　函数的3种表示方法 【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表 ... ...