2.5.2椭圆的几何性质 学习目标 掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等几何性质． 能用椭圆的几何性质求椭圆的方程． 能用椭圆的几何性质分析解决有关问题． 重难点 重点：用椭圆的几何性质求椭圆的方程 难点：用椭圆的几何性质分析解决有关问题 三、知识梳理 1.椭圆的范围：设椭圆C的标准方程是，则椭圆C位于直线 ， 围成的矩形框里. 椭圆的对称性：设椭圆C的标准方程是，则椭圆C关于 对称， 是椭圆的对称轴， 是对称中心，椭圆的对称中心也称为 . 3.椭圆的顶点：设椭圆C的标准方程是，则它的顶点坐标分别为 . 4.椭圆的长轴和短轴：设椭圆C的标准方程是，则它的长轴和短轴分别为 ，且长轴长为 ，短轴长为 ，而椭圆的半长轴长为 ，半短轴长为 . 5.以椭圆的任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个 ，而且短轴端点与焦点的连线长为 . 6.椭圆的离心率：设椭圆C的标准方程是，则它的离心率为 ，取值范围为 ，且当e越趋近于1时，椭圆 ；e越趋近于0时，椭圆就 . 四、例题讲解 例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： （1）； （2）． 例 2 已知椭圆 的焦点为 ，短轴的一个端点为 ，且 是一个等边三角形，求椭圆 的离心率． 例 3 已知椭圆 的左焦点为 ，且 是椭圆上的一点，求 的最小值与最大值． 例 4 航天器的轨道有很多种，其中的＂地球同步转移轨道＂是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点．若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为 ，近地点与地球表面的距离为 ，设地球的半径为 ，试用 表示出地球同步转移轨道的离心率. 五、课堂练习 1.若椭圆的离心率为，则( ) A.2 B. C. D.4 2.椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 3.椭圆的短轴长为( ) A.4 B.6 C. D. 4.椭圆的短半轴的长为( ) A.5 B.10 C.4 D.8 5.椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( ) A. B. C.2 D.4 6.若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 7.若椭圆比椭圆更扁，则C的长轴长的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 9.已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为_____. 10.中心在坐标原点，焦点在x轴上且焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为_____. 六、课后练习 1.已知椭圆的离心率为，则C的短轴长为( ) A. B.1 C.2 D.4 2.已知椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则C的长轴长为( ) A.1 B.6 C.3或6 D.2或4 3.下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是( ) A. B. C. D. 4.已知离心率为的椭圆C的方程为，则( ) A.2 B. C. D.3 5.已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 6.（多选）已知，椭圆，的离心率分别为，.若，则M的值可能为( ) A. B. C. D. 7.（多选）若圆锥曲线的离心率为，则实数m与n的关系为( ) A. B. C. D. 8.比较椭圆①与②的形状，_____（填序号）更扁. 9.若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_____. 10.已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为_____. 答案及解析 三、知识梳理 1. 2.x轴、y轴、坐标原点 x轴、y轴 坐标原点 椭圆的中心 3. 4.线段 5.直角三角形 6. 0
