2.6.2双曲线的几何性质 学习目标 理解并掌握双曲线的几何性质 能求双曲线的离心率． 能利用双曲线的简单性质求标准方程． 重难点 重点：利用双曲线的简单性质求标准方程 难点：运用双曲线的几何性质解决一些问题 三、知识梳理 1.双曲线的范围：设双曲线C的标准方程是，则双曲线C位于直线 ， 所夹平面区域的外侧. 2.双曲线的对称性：设双曲线C的标准方程是，则双曲线C关于 对称， 是双曲线的对称轴， 是对称中心，双曲线的对称中心也称为 . 3.双曲线的顶点：设双曲线C的标准方程是，则它的顶点坐标为 . 4.双曲线的实轴和虚轴：设双曲线C的标准方程是，则它的实轴和虚轴分别为 ，且实轴长为 ，虚轴长为 ，而双曲线的半实轴长为 ，半虚轴长为 .特别地，实轴长与虚轴长相等的双曲线称为 . 5.双曲线的渐近线：设双曲线C的标准方程是，则它的渐近线方程为 . 6.双曲线的离心率：设双曲线C的标准方程是，则它的离心率为 ，取值范围为 . 7.因为 ，所以可以看出 ．另外，注意到 ，这说明 越趋近于 1，则 的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 四、例题讲解 例 1 求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程： （1）； （2）． 例 2 已知双曲线 的顶点为 ，虚轴的一个端点为 ，且 是一个等边三角形，求双曲线 的离心率． 例 3 已知双曲线 的左焦点为 ，且 是双曲线上的一点，求 的最小值． 五、课堂练习 1.双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 2.已知双曲线,则它的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 3.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.2 4.已知双曲线的渐近线方程为，则( ) A. B.2 C.4 D. 5.已知双曲线离心率为3,则双曲线C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 6.已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 7.双曲线的顶点坐标为( ) A.， B.， C.， D.， 8.双曲线的虚轴长为( ) A.2 B.4 C.9 D.6 9.已知双曲线的离心率为,则_____． 10.实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为_____. 六、课后练习 1.若双曲线的焦距是其实轴长的2倍,则E的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 2.当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为( ) A. B. C. D. 3.已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 4.若双曲线的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 5.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D.4 6.（多选）渐近线方程为的双曲线方程可以是( ) A. B. C. D. 7.（多选）双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为_____. 9.已知双曲线（，）的焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，则双曲线C的离心率_____. 10.已知为双曲线（，）上一点，C的实轴长为，则C的离心率为_____. 答案及解析 三、知识梳理 1. 2.x轴、y轴、坐标原点 x轴、y轴 坐标原点 双曲线的中心 3. 4.线段 等轴双曲线 5. 6. e>1 四、例题讲解 例题1 解：（1）由标准方程可知双曲线的焦点在 轴上，且 因此实轴长 ．又因为 ，即 ．因此，双曲线的焦点坐标为 ．离心率 . 渐近线方程为 . 已知双曲线的方程可化为 ，由此可知这个双曲线的焦点在 轴上，且 ，因此实轴长 6，又因为 ，即 ．因此，双曲线的焦点坐标为 ，离心率 ，渐近线方程为 . 例题 2 解：设 为坐标原点，则 的中点为 ，且 ． 由 是等边三角形可知 ，因此 ，又因为 ，所以 ，从而 . 例 题3 解：记双曲线的焦距为 ，则 ，而且 ．设 ，则 ，又因为 是双曲线上一点，所以 ，即 ，因此 注意到 ... ...
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