2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.8直线与圆锥曲线的位置关系 学习目标 理解直线与圆锥曲线的三种位置关系 能用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题 重难点 重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系判断 难点：求解直线与圆锥曲线的有关弦长等问题 新知识导入 通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的题. 类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题． 三、知识梳理 1.直线与椭圆的位置关系：如图所示，当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆 ；当直线与椭圆有且只有一个公共点时，称直线与椭圆 ；当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆 ． 2.一般地，给定直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线），如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解（即有两个相等的实数解），则称直线与圆锥曲线 ．而且可以得出，直线与圆、直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的 ；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的 ． 3.一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的 ，线段的长就是 ．简单地说， 就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． 四、例题讲解 例1 判断直线 y=2x-2 与椭圆是否有公共点，如有，求出公共点的坐标.如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长. 例2 已知直线l ：与椭圆C：，分别求直线 l 与椭圆有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围 例3 判断直线l：y=x+1 与双曲线C：x2-y2=1 是否有公共点.如果有，求出公共点坐标. 例4 已知点A(0，2)和抛物线C：y2=6x，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程. 总结： 一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长． 简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段 例5 已知直线 l 的方程：y = x-2与抛物线C：x2 = -6y相交于A ，B两点，且O为坐标原点. (1)求弦长|AB|； (2)判断是否成立，并说明理由. 五、课堂练习 1.直线与椭圆（）的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 2.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 3.直线l过抛物线()的焦点，且与C交于A，B两点，若使的直线l恰有2条，则p的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.若P为抛物线上的动点，F为该抛物线的焦点，则的最小值为( ). A.2 B.1 C. D. 6.已知椭圆的右焦点为F，过点F的直线交椭圆交于A，B两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为( ) A. B. C. D. 7.设抛物线的焦点为F，直线l过点F且与C交于A，B两点.若，则l的方程为( ) A.或 B.或 C.或 D.或 8.直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是_____. 9.已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，O为坐标原点，若的面积为2，则O到直线的距离为_____. 10.直线过定点，且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为_____. 六、课后练习 1.若过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，O是抛物线的顶点，则是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 2.斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段的中点为，则( ) A. B. C. D. 3.已知抛物线，直线l过点且与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线l的条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，点M为线段 ... ...