3.1.3 组合与组合数 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

3.1.3组合与组合数 一、学习目标 1.理解组合和组合数的概念，会区分排列与组合问题； 2.掌握组合数公式，会利用公式解决一些简单组合问题； 3.掌握组合数的基本性质 二、重难点 重点：掌握组合数公式运用，会区分排列与组合问题 难点：应用组合知识解决有关组合的实际问题 新知识导入 下面这两个计数问题的答案一样吗？ （1）小张要在 3 所大学中选择 2 所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ （2）小张要在 3 所大学中选择 2 所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？ 选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的关系. 两个问题中：前者选出两所学校后，还要指定一所作为第一志愿，另一所作为第二志愿；而后者只需要选出两所学校即可. 换句话说，前者选出的学校是要排列顺序的，而后者选出的学校不需要排列顺序. 三、知识梳理 1.组合：一般地，从 n 个不同对象中取出 个对象并成一组，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个 . 2.组合数：从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有组合的个数，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的 ，用符号 表示. 注意：（1）所谓并成一组是指与顺序无关. （2）同符号 一样，在符号 中，总是要求 n 和 m 都是正整数，且 . 3.组合数公式： ，且当时， ， ， . 4.组合数的性质： ， . 5.排列与组合有什么共同点和不同点 例题讲解 例1 已知一个平面内有10个点，其中任意3点都不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等： （1）这些点共可以连成多少条不同的线段？ （2）以这些点为端点共可以作出多少个不同的非零向量？ 例2 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 总结 假设有n+1个不同对象，甲是其中一个，从这n+1个对象中取出m+1个，这样的组合共有多少个？ 法1： 从n+1个对象中取出m+1个的组合数为 法2： 分成两类情况：第一类，如果取出的对象中含甲，“从剩余n个不同对象再取出m个的组合”，有种方法. 第二类，如果取出的对象中不含甲，从剩余n个不同对象取出m+1个的组合”，有种方法.根据分类加法计数原理，共有种方法 可得： 例3 现有 30 件分别标有不同编号的产品，且除了 2 件次品外，其余都是合格品，从中取出 3 件: （1）一共有多少种不同的取法？ （2）若取出的 3 件产品中恰有 1 件次品，则不同的取法共有多少种？ （3）若取出的 3 件产品中至少要有 1 件次品，则不同的取法共有多少种？ 例4 要把 9 本不同的课外书分给甲、乙、丙 3 名同学： 如果每个人都得 3 本，则共有不同的分法多少种？ （2）如果要求一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本，则共有不同的分法多少种 例5 现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？ 五、课堂练习 1.( ) A.25 B.35 C.70 D.1050 2.若，则( ) A.5 B.6或5 C.7 D.7或8 3.某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，有( )选法． A.30种 B.34种 C.60种 D.35种 4.从3名男生和2名女生中选2人参加演讲比赛，不同选法的种数为( ) A.5 B.6 C.9 D.10 5.( ) A.25 B.30 C.35 D.40 6.( ) A. B. C. D. 7.某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有( ) A.72种 B.36种 C.24种 D.18种 8.已知，则n的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 9.某省专家组为评审某市是 ... ...