4.1.3 独立性与条件概率的关系 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.1.3独立性与条件概率的关系 学习目标 理解事件独立性与条件概率的关系 掌握事件独立性的充要条件，并能借助其解决相应问题 重难点 重点：事件独立性判断，能借助其解决相应问题 难点：利用事件独立性解决相应问题 新知识导入 A与B相互独立（简称为独立）的充要条件是：P(AB)= P(A) P(B)， 且A与B独立的直观理解是：事件A(事件B)发生与否不影响事件B(事件A)发生的概率. 那么，这个直观理解的数学含义是什么？ 假设P(A)>0且P(B)>0 ，在A与B独立的前提下，通过条件概率的计算公式考察P(A|B)与P(A)之间的关系以及P(B|A)与P(B)之间的关系. 此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等. 即事件B的发生，不会影响事 A发生的概率. 三、知识梳理 1.当 时，事件 A 与事件 B 独立的充要条件是 . 2.多个事件之间的相互独立也可借助条件概率来理解，“ 相互独立”也可说成“ 相互不影响”.需要强调的是，同以前一样，实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若可认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立；已知事件相互独立时，根据每个事件发生的概率可以方便地求出它们同时发生的概率. 四、例题讲解 例1 已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示， 男生/人 女生/人 有自主创业打算 16 15 无自主创业打算 64 60 从这些学生中随机抽取一人: (1)求抽到的人有自主创业打算的概率； (2)求抽到的人是女生的概率； (3)若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率； (4)判断“抽到人是女生” 与“抽到人有自主创业打算” 是否独立. 例2 已知甲、乙、丙三人参加驾照考试时，通过的概率分别为0.8，0.9，0.7，而且这三人之间的考试互不影响.求： (1)甲、乙、丙都通过的概率； (2)甲、乙通过且丙未通过的概率. 例3 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙三个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作.各部件的可靠度均为r(0