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1.1.2 空间向量的数量积运算（课件学案练习）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

日期：2025-11-14 科目：数学类型：高中课件查看：16次大小：10999374B 来源：二一课件通

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1.1.2　空间向量的数量积运算【课前预习】知识点一 1.夹角　 2.[0,π]　相同　相反　互相垂直诊断分析 (1)×　 (2) ×　[解析] (1)<,>表示向量,的夹角,<,>表示向量,的夹角,它们之间的关系为<,>=π-<,>. (2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD所成的角为α或π-α. 知识点二 1.|a||b|cos　|a||b|cos 2.(1)0　(2)|a|2　(3) 3.|a|cos 4.(1)λ(a·b)　(2)b·a　(3)a·c+b·c 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√ [解析] (1)非零向量a,b垂直时也有a·b=0. (2)向量的数量积运算不满足消去律. (3)若a·b<0,则是钝角或=π. (4)向量e1在向量e2上的投影向量为1×cos 120°×e2=-e2. 【课中探究】探究点一例1　解:(1)·=·=||||·cos<,>= cos 60°=. (2)·=·=||2=. (3)·=·=||·||cos<,>=cos 120°=-. (4)·=·(-)=·-·=||||cos<,>-||||cos<,>=cos 60°-cos 60°=0. 变式　(1)AB　(2)- [解析] (1)如图,对于A,·=·=×1×=1,A正确.对于B,·=·(+)=·+·=·(+)=+·=1,B正确.对于C,·=·(+)=·+·=-1,C错误.对于D,因为BA⊥侧面ADD1A1,A1D 侧面ADD1A1,所以BA⊥A1D,故·=0,D错误.故选AB. (2)∵点D是△PAB的重心,∴=(+),又正四面体P-ABC的棱长为2,∴·=(+)·(-)=(·-·+·-)=×=-. 探究点二例2　解:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,AB 平面ABC,AC 平面ABC, 则A1A⊥AB,A1A⊥AC, 故·=0,·=0. 由AC=AB=,BC=2,得AB2+AC2=BC2, 则AB⊥AC,故·=0, 又BC=2AE=2, 所以E为BC的中点,所以=(+). 由AC=AA1=, 得A1C==2. 因为·=(+)·(-)==1,所以cos<,>==, 又0°≤<,>≤180°,所以<,>=60°, 即向量与的夹角为60°. 变式　(1)A　(2)- [解析] (1)如图,由题意知,=+=++=++,所以·=·=,设AB=2,则OC1=,OC=,所以异面直线OC与AB所成角的余弦值为==. (2)如图,连接OB,OD,易知OB⊥AC,OD⊥AC,所以∠BOD=,不妨设正方形ABCD的边长为2,则OA=OB=OC=OD=,OE=OF=BC=1,=(+),=(+),所以·=(+)·(+)=(·+·+·+·)==-,所以cos∠EOF=cos<,>==-. 探究点三例3　解:由AC⊥α,AB 平面α,得AC⊥AB.如图,过点D作DD'⊥α于点D', 连接BD',CD,则∠DBD'=30°,<,>=120°, 所以||2=·=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=b2+a2+b2+2b2cos 120°=a2+b2, 故CD=,即C,D间的距离为. 变式　(1)A　[解析] 如图,设=a,=b,=c,因为正四面体ABCD的棱长为1,所以a·b=|a|·|b|cos∠BAC=,同理可得a·c=b·c=.因为点M为CD的中点,点O为AM的中点,所以==(+)=(b+c),所以=-=-a+b+c,所以||== = .故选A. (2)解:因为∠ACD=90°,所以·=0,同理,·=0. 因为AB与CD所成的角为60°, 所以<,>=60°或120°. 连接BD,因为=++, 所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=||2+||2+||2+2·=3+2×1×1×cos<,>. 若<,>=60°,则||2=4,此时||=2; 若<,>=120°,则||2=2,此时||=. 综上,B,D间的距离为2或. 探究点四例4　证明:设=a,=b,=c,则=-=a-b. 因为底面ABCD是菱形,所以|a|=|b|.由∠C1CB=∠C1CD=∠BCD,知,,两两的夹角相等,设为θ, 则·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cos θ-|c|·|b|cos θ=0, 所以⊥,即CC1⊥BD. 变式　证明:设=a,=b,=c,则a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|. ∵=-=a-c,=(+)=(a+c), ∴·=(a-c)·b=a·b-c·b=0,·=(a-c)·(a+c)=(a2-c2)=0,∴PB⊥AD,PB⊥AF. 又AD∩AF=A,AD 平面ADEF,AF 平面ADEF, ∴PB⊥平面ADEF,又PB 平面PBC, ∴平面PBC⊥平面ADEF.1.1.2　空间向量的数量积运算 1.B　[解析] 当=π时,a·b<0,但不是钝角,即由“a·b<0”不能推出“为钝角”,又当为钝角时,a·b<0,所以“a·b<0”是“为钝角”的必要不充分条件.故选B. 2.B　[解析] ·=(++)·=·++·.因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以·=0,·=0,所以·=0+12+0=1,故选B. 3.B　[解析] 由正方体的性质可得,⊥,⊥,故·=0, ... ...

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