【学霸笔记：同步精讲】第7章 7.4 三角函数应用 讲义----2026版高中数学苏教版必修第一册

7.4　三角函数应用 学习任务 核心素养 1．会用三角函数解决一些简单的实际问题． (重点) 2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点) 1．通过建立三角函数模型解决实际问题，培养数学建模素养． 2．借助实际问题求解，提升数学运算素养． 生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替、四季轮回、潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！我们需要学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象． 知识点1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念 设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；往复运动一次所需的时间T＝称为这个运动的周期；单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相位． 1．简谐运动y＝sin 的振幅为_____，周期为_____，频率为_____，初相位为_____． 　6　　－　[由简谐运动的相关概念可知， A＝，T＝＝6，f＝＝，初相位φ＝－．] 知识点2　三角函数的应用 (1)三角函数模型的应用 ①根据实际问题的图象求出函数解析式． ②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． ③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型． (2)解答三角函数应用题的一般步骤 在函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？ [提示]　A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下： (1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b； (2)A＝，b＝． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2sin 的初相位是． (　　) (2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm． (　　) (3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin ，则当t＝ s时，电流强度I为 A． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 类型1　三角函数模型在物理学中的应用 【例1】【链接教材P214例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解]　列表如下： t － 2t＋ 0 π 2π sin 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示． (1)将t＝0代入s＝4sin ，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm． (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm． (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s． 【教材原题·P214例1】 例1在图7-4-2中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．求： (1)物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系； (2)该物体在t＝5 s时的位置． 解：(1)设x和t之间的函数关系为 x＝3sin (ωt＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)． 则由T＝＝3，可得ω＝． 当t＝0时，有x＝3sin φ＝3，即sin φ＝1． 又0≤φ<2π，可得φ＝． 因此所求函数关系为x＝3sin ，即x＝3cos t． (2)令t＝5，得x＝3cos ＝－1.5，故该物体在t＝5 s时的位置是在O点的左侧且距O点1.5 cm处． 　在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． [跟进训练] 1．已知电 ... ...