1.3.2 空间向量运算的坐标表示 1.掌握空间向量的坐标表示. 2.掌握空间两点间距离公式. 3.会用空间中的向量的坐标运算解决一些简单的几何问题． 你还记得平面向量的坐标运算吗？ 得到空间向量的坐标运算 类比得到 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 设 设 设 设 加法运算 减法运算 平面向量坐标运算 空间向量坐标运算 数乘运算 数量积运算 有向线段的向量坐标表示 线性运算 设 为空间的一个单位正交基底， 则 所以 因为 所以 对于空间向量数量积运算的坐标表示： 如何证明 1．(1)已知两个向量a＝(－1，0，1)，b＝(－2，1，1)，则a＋2b＝_____． (2)已知点A(0，1，0)，点B(2，3，2)，向量????????＝????????????????，则点C的坐标为_____． ? 解：(1)2b＝(－4，2，2)，a＋2b＝(－1－4，0＋2，1＋2)＝(－5，2，3)． (2)设C(x，y，z)，则????????＝(x，y－1，z)，而????????????????＝????????(2，2，2)＝(1，1，1)， 故x＝1，y＝2，z＝1，故点C的坐标为(1，2，1)． ? (－5，2，3) (1，2，1) 练一练 想一想：设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似的结论？ 平面向量平行的坐标表示 空间向量平行的坐标表示 设 当 时， 当 时， 设 能否表示为 ？ ? 当 时， 设 能否表示为 ？ ? 至少一个不为0. 例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义. 例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义. 因此，只有 均不为0时， 特殊地， 与任意向量平行. 当 时， 平面向量的特殊位置关系 空间向量的特殊位置关系 设 当 时， 当 时， 设 知识归纳 证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间 直角坐标系 ，则 所以 又 所以 例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点E，F分别是 BB1, D1B1的中点； 求证：EF⊥DA1. A C B D O x y z ????????·????????????=0 ? 所以????????·????????????＝?????????，?????????，????????·(1，0，1)＝0． 所以????????⊥????????????，即EF⊥DA1． ? 利用向量的坐标运算证明平行、垂直问题的基本思路： 建立恰当坐标系 由运算结果定结论 用向量表示元素 进行向量坐标运算 简记：建系→点坐标→向量坐标→代入公式求解 方法归纳 类比平面向量，我们也能进行空间向量中长度和夹角的坐标表示： 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 设 则 设 设 设 则 如何证明 设 ， 是空间中任意两点， 如图，建立空间直角坐标系， 于是 所以 这就是空间两点间的距离公式. 则 如何证明 例2 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,M为BC1的中点，E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上, （1）求AM的长；（2）求BE1与DF1所成角的余弦值. 解：（1）建立如图的空间直角坐标系 ，则 点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为 于是 O x y z C A B D M （2）由已知得 所以 . 所以 . 与 所成角的余弦值 . 所以 所以 . C A B D O x y z M 2.如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝????????，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点． (1)????????=_____; (2)cos 〈????????′，????????′〉的值=_____； (3)求证：????′????⊥????′????． ? 练一练 ???? ? ???????????????? ? [解] 如图所示，以点C为原点，CA，CB， CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系． (1)由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)． 则????????＝(1，－1，1)， ????????＝????????+?????????+????????＝????． ? (2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)． 因为????????′＝(1，－1，2)，????????′＝(0，1，2)， 所以????????′＝????????+?????????+????????＝????，????????′＝????????+????????+????????＝????， ????????′·????????′＝ ... ...
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