1.3 课时2 空间向量运算的坐标表示 【学习目标】 1.掌握空间向量运算的坐标表示.(数学运算) 2.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.(数学抽象、数学运算) 3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式,能运用公式解决问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.前面我们已经学面向量的加减、数乘和数量积运算,那么我们是如何对平面向量进行坐标运算的呢 2.你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算的坐标表示的猜想 3.空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一样吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)即使建立的坐标系不同,同一向量的坐标仍相同. ( ) (2)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则==. ( ) (3)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0. ( ) (4)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||==. ( ) 2.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是( ). A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6) C.a·b=10 D.|a|=6 3.(人教A版选择性必修第一册P22练习T1改编)已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则下列计算错误的是( ). A.a+b=(-2,7,4) B.4a=(-12,8,20) C.3a-b=(-10,1,16) D.a·b=-2 4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,c),且|a+b|=. (1)求c的值; (2)若ka+b与2a-b互相垂直,求实数k的值. 【合作探究】 探究1 空间向量运算的坐标表示 问题1:通过前面对平面向量坐标运算的复习,类比得出空间向量数量积的坐标运算表达式. 问题2:平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示: 运算 坐标表示 加法 a+b= 减法 a-b= 数乘 λa= 数量积 a·b= 空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的,因此,一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 例1 (1)已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b). (2)已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),若=(-),求点P的坐标. 【方法总结】关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题,首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标问题,首先把向量用坐标形式表示出来,然后建立方程(组),解方程(组)求出其坐标. 已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=( ). A.-1 B.1 C.0 D.-2 已知△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5),求顶点B,C的坐标及. 探究2 空间向量的平行、垂直 问题1:如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直 这个结论对于空间向量还成立吗 问题2:设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),当b≠0时,a∥b的充要条件能否表示为== 空间向量的平行与垂直的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 平行(a∥b) a∥b(b≠0) a=λb 垂直(a⊥b) a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量) 例2 (1)(2023年新高考全国Ⅰ卷节选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.证明:B2C2∥A2D2. (2)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD.证明:平面PAD⊥平面PBC. 【方法总结】利用空间向量证明面面垂直的方法 利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题,再通过空间向量的坐标运算得出结论. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点. (1)求证:A1E⊥BD. (2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定点E的位置. 探究3 夹角与距离 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,设P1(x1,y1,z1),P ... ...
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