3.3.3 指数函数的图像和性质 教案3

3.3.3 指数函数的概念及图像和性质 教案 教学目标 1、知识目标： i会做指数函数的图像； ii能归纳出指数函数的几个基本性质； iii会进行指数函数性质的简单应用。 2、能力目标： 通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。 3、情感目标： 通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。 （三）教学重点和难点 1、重点：指数函数的性质和图像。 2、难点：指数函数性质的归纳。 知识点一 指数函数的定义 [例1]　指出下列函数哪些是指数函数： (1)y＝3x；(2)y＝x2； (3)y＝－3x；(4)y＝(－3)x； (5)y＝πx；(6)y＝(4x)2； (7)y＝xx；(8)y＝(6a－3)x(a>，且a≠)． [思路点拨]　根据指数函数定义判断． [精解详析]　(1)(5)(8)为指数函数． (2)底数不是常数，故不是指数函数； (3)是－1与指数函数3x的乘积； (4)中底数－3<0，故不是指数函数； (6)中指数不是自变量x，而是x的函数； (7)中底数x不是常数，它们都不符合指数函数的定义． [一点通]　判断一个函数是否为指数函数，①底数要大于零且不等于1；②幂指数是自变量x；③系数为1，只是y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这样的形式． 题组集训 1．下列函数中： ①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝()x； ④y＝3－；⑤y＝x. 是指数函数的是_____(填序号)． 解析：①中指数式的系数不为1；②中y＝2x－1＝·2x的系数亦不为1；④中自变量不为x；⑤中的指数为常数且底数不是唯一确定的值． 答案：③ 2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，求a的值． 解：由指数函数的定义知 由①得a＝1或2，结合②得a＝2. 知识点二 指数函数的图像和性质 [例2]　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2； (2)y＝()2x－x2； (3)y＝5. [思路点拨]　函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，分式问题要使分母不为0，根式问题要使被开方数有意义，结合换元法，联想函数的图像，根据单调性等确定值域． [精解详析]　(1)要使函数有意义，必须x－4≠0， ∴x≠4， 故所求函数的定义域为{x∈R|x≠4}． ∵x≠4，≠0， ∴2≠1， 故函数的值域为{y|y>0，且y≠1}； (2)定义域为R. ∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， ∴()2x－x2≥()1＝. 故函数y＝()2x－x2的值域为{y|y≥}； (3)要使函数有意义，必须且只需3x－2≥0，即x≥， ∴函数的定义域为. 设t＝，则t≥0，y＝5t， ∴y≥50＝1. ∴所求函数的值域为. [一点通]　求与指数函数有关的函数定义域和值域时，要充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．对于解析式较复杂的函数，往往采用换元法求解，这样可以使问题变得简洁，避免出错． 题组集训 3．函数y＝＋2的定义域是(　　) A．{x|－≤x≤}　　　　 B．{x|1≤x≤ } C．{x|x≥1} D．R 解析：x满足 ∴1≤x≤ . 答案：B 4．求函数y＝()－2x2－8x＋1(－3≤x≤1)的值域． 解：令t＝－2x2－8x＋1， 则y＝()t， 又t＝－2x2－8x＋1 ＝－2(x2＋4x)＋1 ＝－2(x＋2)2＋9， －3≤x≤1， ∴当x＝－2时，tmax＝9， 当x＝1时，tmin＝－9， 故－9≤t≤9， ∴()9≤y≤()－9， 即3－9≤y≤39， 故所求函数值域为[3－9,39]. 知识点三 利用指数函数的性质比较大小 [例3]　比较下列各组数的大小： (1)－1.8与－2.6；(2)()－与1； (3)0.6－2与()－；(4)()0.3与3－0.2. [思路点拨]　(1)(2)(4)利用指数函数的单调性比较；(3)利用中间值1比较． [精解详析]　(1)0<<1，y＝()x在定义域R内是减函数． 又∵－1.8>－2.6， ∴()－1.8<()－2.6； (2)∵0<<1，∴y＝()x在定义域R内是减函数． 又∵－<0，∴()－>()0＝1，∴()－>1； (3)∵0.6－2>0.60＝1，()－<()0＝1， ∴0.6－2>()－； (4)∵()0.3＝3－0.3， 又∵－0. ... ...