1.2.2 空间中的平面与空间向量 导学案（2课时）（含答案） 2025-2026学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.2.2 课时1 空间中的平面与空间向量 【学习目标】 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.(数学抽象、数学运算) 2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、平面与平面垂直.(逻辑推理、数学运算) 3.了解三垂线定理及其逆定理.(逻辑推理、数学抽象) 4.会借助向量法证明有关平行与垂直的问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.直线与平面垂直的定义是什么 2.直线与平面垂直的判定定理是什么 3.平面α的法向量有多少个 它们之间有什么关系 4.一个平面的法向量和与此平面共面的所有向量间有什么关系 5.给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面吗 6.平面的法向量有何特点 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l的方向向量平行，则a是平面α的一个法向量. （ ） (2)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直. （ ） (3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量.（ ） (4)若a，b分别是两个平行平面的法向量，则a与b共线. （ ） (5)若a，b分别是两个互相垂直平面的法向量，则a与b垂直. （ ） 2.若直线l的一个方向向量为a=(1，0，2)，平面α的一个法向量为u=(-2，0，-4)，则（ ）. A.l∥α B.l⊥α C.l α D.l与α斜交 3.若平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，-1，0)，则平面α与平面β的位置关系为（ ）. A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 4.若两个向量=(1，2，3)，=(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为（ ）. A.(-1，2，-1) B.(1，2，1) C.(1，2，-1) D.(-1，2，1) 5.设平面α的一个法向量为(1，2，-2)，平面β的一个法向量为(-2，-4，k)，若α∥β，则实数k=_____. 【合作探究】 探究1平面的法向量 小明利用纸盒折了一个如图所示的正六棱柱，根据正棱柱的定义可知棱AB垂直于棱柱底面. 问题1：图中是底面的法向量吗 唯一吗 问题2：平面的法向量有何作用 1.平面的法向量 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量.此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 2.平面法向量的性质 (1)如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量. (2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行. (3)如果n是平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上的任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n=0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 例1：如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于点F，分别求平面A1DFE、平面A1B1CD的一个法向量. 【方法总结】求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n=(x，y，z). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组. (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. 已知A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a=(x，y，z)，则x∶y∶z=_____. 探究2三垂线定理及其逆定理 三垂线定理是立体几何中的重要定理之一，它通过平面斜线的射影与平面内一直线的垂直关系来判定斜线与平面内该直线垂直. 问题1：平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的 问题2：三垂线定理来源于什么 问题3：如何抓住三垂线定理的实质 1.射影 已知空间中的平面α以及点A，过点A作α的_____l，设l与α相交于点A'，则A'就是点A在平面α内的射影(也称为投影). 2.图形F在平面α内的射影 空间中，图形F上 ... ...