1.2.3 直线与平面的夹角 & 1.2.4 二面角 导学案（含答案） 2025-2026学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.2.3 直线与平面的夹角 & 1.2.4 二面角 【学习目标】 1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角.(直观想象、逻辑推理) 2.能够用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角.(逻辑推理、数学运算) 3.理解空间两个向量所成的角与空间角的区别与联系.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.直线与平面所成的角是如何定义的 2.一条直线垂直于平面，它们所成的角是什么 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是什么 直线与平面所成角的取值范围是什么 3.一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是一条直线 它是唯一的吗 4.直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗 5.二面角是如何定义的 6.二面角的平面角的取值范围是什么 7.二面角α-l-β的平面角与平面α，β所成的角有何关系 8.二面角α-l-β的平面角与平面α，β的法向量的夹角有何关系 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若二面角α-l-β的两个半平面的一个法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两个法向量的夹角一定相等. （ ） (2)若向量n1，n2分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos=. （ ） (3)直线与平面所成角的范围为. （ ） (4)设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为n1，平面的一个法向量为n2，则sin θ=. （ ） 2.已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos=-，则α与β的夹角为（ ）. A.30° B.60° C.120° D.150° 3.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（ ）. A.120° B.60° C.30° D.以上均错 4.已知二面角α-l-β，其中平面α的一个法向量为m=(1，0，-1)，平面β的一个法向量为n=(0，-1，1)，则二面角α-l-β的大小可能为_____. 5.如图，已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F，G分别为AB，CD1，AD的中点，则异面直线A1G与EF所成角的余弦值为_____. 【合作探究】 探究1两异面直线的夹角 已知一个正方体的平面展开图如图所示. 将该展开图还原成正方体，回答下列问题. 问题1：MN与EF是异面直线吗 若是，则求出它们的夹角；若不是，请说明理由. 问题2：根据立体几何知识，我们怎样求两条异面直线a，b的夹角 异面直线所成的角的取值范围是什么 问题3：设直线a，b的夹角为θ，方向向量分别为a，b，那么夹角θ与方向向量的夹角之间的关系是怎样的 对应的余弦值表达式是什么 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=|cos|=. 例1：如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO1=2，OA=，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值. 【方法总结】(1)用几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再利用解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可. (2)由于两异面直线的夹角θ的取值范围是，而两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，故应有cos θ=|cos α|，求解时要特别注意. 如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD=2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 探究2直线与平面的夹角 3D立体打印技术出现在20世纪90年代中期，它与普通打印的工作原理基本相同.打印机内装有液体或粉末等“打印材料”，与电脑连接后，通过电脑控制把“打印材料”一层层叠加起来，最终把计算机上的蓝图变成实物，这一打印技术称为3D立体打印技术.如图，这是一个通过3D打印得到的圆柱体. 问题1：将它抽象成如图所示的圆柱体，设AB是圆 ... ...