第1章 章末小结 导学案（含答案） 2025-2026学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册

第1章 章末小结 【知识导图】 【题型突破】 空间向量的线性运算 例1：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1=∠CAA1=60°. (1)设=a，=b，=c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的长度； (2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值. 在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或者选择有公共起点且关系(如夹角或线段长度)最明确的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题. 空间向量的坐标运算 例2：(多选题)(2021年新高考全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足=λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）. A.当λ=1时，△AB1P的周长为定值 B.当μ=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值 C.当λ=时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D.当μ=时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P 熟记空间向量的坐标运算公式是解题的关键.在利用坐标运算公式时，注意先对向量式子进行化简再运算.综合考查了学生的直观想象、逻辑推理能力以及数学运算的核心素养. 利用空间向量解决平行与垂直问题 例3：(2022年全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）. A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 判断直线与平面的位置关系，有两种思路：一是利用判定定理判断；二是利用直线的方向向量与平面的法向量的关系进行判断. 利用空间向量求空间距离 例4：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，Q为棱PD的中点，PA⊥AD，PA=AB=2. (1)求证：PA⊥平面ABCD. (2)求直线PB到平面ACQ的距离. (1)求点到平面的距离，常常利用向量法，将其转化为求平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度.(2)直线到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则. 利用空间向量求空间角 例5：(2024年新高考全国Ⅱ卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=5，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F满足=，=，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=4. (1)证明：EF⊥PD. (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 求两平面夹角问题的思路：一是利用夹角的定义，在图形中找出所求的角，解三角形求出所求角；二是建立适当的空间直角坐标系，利用向量法，根据向量的运算求解.注意线线角、线面角、面面角与对应向量满足的关系.本题渗透了直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养. 利用空间向量解决探索性问题 例6：(2021年全国甲卷)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC，CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1. (1)证明：BF⊥DE. (2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小 解决存在性问题的基本策略：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在.本题第二问中通过余弦值的绝对值最大，找到正弦值最小是关键一步，本题渗透了直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养. 【拓展延伸】 空间向量的发展及应用 向量是高中数学新课程中的重要内容，早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象.20世纪初被引入中学数学.我国在1996年高中数学大纲中引入了向量.大约公元350年前，古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle，公元前384-公元前322)就知道了力可以表示成向量，他在《力学》一书中记载了“速度”的平行四边形法则，3个世纪以后又被海伦证明.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表 ... ...