4.1.2 利用二分法求方程的近似解 学案3（含答案）

4.1.2 利用二分法求方程的近似解 学案 课标解读 1.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．(难点) 知识点 二分法 【问题导思】　 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)： 1．维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 【提示】　首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD. 2．在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障． 【提示】　能． 1．二分法 对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法． 2．用二分法求方程的近似解的过程 在图中： “初始区间”是一个两端函数值反号的区间； “M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号； “N”的含义是：方程解满足要求的精度； “P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解. (见学生用书第66页) 类型一 二分法的理解 　下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 【思路探究】　解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件． 【自主解答】　利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B. 【答案】　B 若函数y＝f(x)同时满足下列三个条件： 1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续曲线； 2．函数f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点； 3．f(a)·f(b)<0. 则用二分法一定能够求出函数y＝f(x)的零点． 下列函数中能用二分法求零点的是(　　) 【解析】　选项A中，函数无零点，选项B、D不符合用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项C可用二分法求函数的零点． 【答案】　C 类型二 用二分法求方程的近似解 　求方程lg x－2－x＋1＝0的一个实数解(精度为0.1)． 【思路探究】　先构造函数f(x)＝lg x－2－x＋1，确定一个恰当的区间作为计算的初始区间，再利用二分法求出方程的一个实数解． 【自主解答】　令f(x)＝lg x－2－x＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点． 又因为f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933 032 991＜0，所以方程在[0.1,1]内有唯一的一个实数解． 使用二分法求解，如下表： 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 0.1 －0.933 032 991 1 0.5 0.9 第2次 0.1 －0.933 032 991 0.55 0.057 342 561 0.45 第3次 0.325 －0.286 415 025 0.55 0.057 342 561 0.225 第4次 0.437 5 －0.097 435 015 0.55 0.057 342 561 0.1125 第5次 0.493 75 －0.016 669 324 0.55 0.057 342 561 0.056 25 至此，区间[0.493 75,0.55]的区间长度为0.056 25，它小于0.1，因此，我们可以选取这一区间的任意一个数作为方程lg x－2－x＋1＝0的近似解．例如选取0.5作为方程lg x－2－x＋1＝0的近似解． 用二分法求函数零点(方程实数解)的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算． 　求方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个实数解．(精度为0.1) 【解】　记f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875 ... ...