4.2 函数应用章末小结 教案（含模块综合试卷和答案）

4.2 函数应用章末小结 教案 1．函数的零点 (1)函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． (2)确定函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根． (3)一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0的根． (4)一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解． (5)判断函数在某区间有零点的依据： 对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程f(x)＝0与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的图像和性质找零点，从而求出方程的根． 对于如何判断函数在某区间内是否有零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图像在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0. 2．实际问题的函数建模 解决应用问题的一般程序是： (1)审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； (3)求模：求解数学模型，得到数学结论； (4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为 [例1]　函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 [解析]　法一：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3； 当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2. 法二：在坐标系中作出函数f(x)＝的图像，由图像知，有两个零点． [答案]　C [借题发挥] 函数的零点问题常见的有：求零点大小、判断零点个数及零点所在大致区间三类问题．常用的解法有解方程法，判定定理法及数形结合法． 1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　) A．(－，0) B．(0，) C．(，) D．(，) 解析：因为f()＝e＋4×－3＝e－2<0，f()＝e＋4×－3＝e－1>0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(，)． 答案：C 2．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　) A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0 解析：函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上是增函数． 又∵x0是f(x)的一个零点，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f(x1)＜0，f(x2)＞0. 答案：B 3．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln (x－) 解析：∵g(x)＝4x＋2x－2在R上连续，且g()＝＋－2＝－＜0，g()＝2＋1－2＝1＞0. 设g(x)＝4x＋2x－2的零点为x0，则＜x0＜， 故0＜x0－＜，∴＜. 又f(x)＝4x－1的零点为x＝； f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1； f(x)＝ex－1的零点为x＝0； f(x)＝ln (x－)的零点为x＝. 答案：A [例2]　已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2，在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围． [解]　(1)当方程x2－(m－1)x＋2＝0，在[0，1]上有两个相等的实根时， 有 解得m＝1±2，1≤m≤3， ∴此种情况不存在． (2)当方程x2－(m－1)x＋2＝0有两个不相等实根时， 有且只有一根在[0，1]上，有 即∴m≥4. 综上所述，实数m的取值范围m≥4. [借题发挥] (1)解决此类问题，通常是结合图像，从判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值、图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件． (2)函数问题 ... ...