2.2 直线的方程 导学案（4课时）（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

2.2.2　直线的两点式方程 【学习目标】 1.掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围.(直观想象) 2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围.(逻辑推理) 【自主预习】 1.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，如何求直线P1P2的方程 2.式子y-y1=(x-x1)与=等价吗 能表示过任意两点的直线方程吗 3.若P1(0，b)，P2(a，0)，且a≠0，b≠0，如何求直线P1P2的方程 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线有两点式方程. (　　) (2)过原点的直线没有截距式方程. (　　) (3)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线的两点式方程是=. (　　) 2.过(1，1)，(2，-1)两点的直线方程为(　　). A.y=2x-1　　　　　　 B.y=x+ C.y=-2x+3　　　　　　 D.y=-x+ 3.直线-=1在两坐标轴上的截距之和为　　　　. 4.已知直线l的两点式方程为=，则直线l的斜率为　　　　. 【合作探究】 探究1　直线的两点式方程 某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处，如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交会于A，B两处，并使该区商业中心O到A，B两处的距离之和最短. 问题1：在上述问题中，实际上解题的关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定 问题2：若给定A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，是否就可以用两点式写出直线AB的方程 问题3：直线的两点式方程能用=(x1≠x2，y1≠y2)代替吗 问题4：过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗 为什么 过点(2，3)，(5，3)的直线呢 问题5：方程=和方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的适用范围相同吗 直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 示意图 直线方程 (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 适用范围 任意两点 若x1≠x2，y1≠y2，则两点式方程也可以写成=. 例1　已知△ABC的三个顶点分别为A(2，-1)，B(2，2)，C(4，1)，求△ABC三条边所在直线的方程. 【方法总结】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，若两点的连线不垂直于坐标轴，则考虑用两点式的分式形式求方程. 若点P(3，m)在过点A(2，-1)，B(-3，4)的直线上，则m=　　　　. 已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 探究2　直线的截距式方程 问题1：怎样理解直线的截距式方程 问题2：方程-=1和+=-1都是直线的截距式方程吗 直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0 示意图 直线方程 +=1 适用范围 斜率存在且不为零，不过原点 (1)截距式方程等号左边以“+”相连，等号右边是1. (2)a叫作直线在x轴上的截距，a∈R，且a≠0，不一定有a>0. 例2　求过点(4，-3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程. 【方法总结】(1)若问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直的情况. 求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程. 探究3　截距式方程的应用 例3　直线l过点P，2，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.是否存在同时满足下列条件的直线l (1)△AOB的面积为6； (2)△AOB的周长为12. 若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【方法总结】直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a|·|b|. 已知定点P(-4，2). (1)求过点P且在两坐标轴上截距 ... ...