2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系 导学案（2课时）（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

2.6.2　圆与圆的位置关系 【学习目标】 1.理解圆与圆的几种位置关系的性质及判定.(直观想象) 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.在之前，我们有研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，那么圆与圆的位置关系又有几种呢 2.如何判断出两圆的位置关系 3.已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切. (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交. (　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　) (4)过圆O：x2+y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. (　　) 2.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系为(　　). A.相离　　　　　　　　B.相交 C.外切 D.内切 3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　　　　. 【合作探究】 探究1　圆与圆的位置关系 某地12月24日拍到的日环食的全过程如图所示. 可以用两个圆来表示上述变化过程. 根据上图，结合平面几何，判断圆与圆的位置关系有几种.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系 问题：判断两圆的位置关系有什么方法 1.圆与圆的位置关系 圆与圆之间存在以下三种位置关系： (1)两圆相交，有两个公共点； (2)两圆相切，包括内切与外切，只有一个公共点； (3)两圆相离，包含外离与内含，没有公共点. 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判定方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|0)，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2个 1个 0个 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 例1　两圆C1：x2+y2-2x-3=0，C2：x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　). A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 【方法总结】判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法. (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数判断两圆的位置关系. 若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=(　　). A.21 B.19 C.9 D.-11 探究2　两圆相切问题 例2　求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程. 【方法总结】处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论. (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切)或两圆半径之和(外切). 若圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0内切，则m=　　　　. 探究3　相交弦及圆系方程问题 例3　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 【方法总结】 1.若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 2.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦 ... ...