4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念与通项公式 【课前预习】 知识点一 1.第2项 等比 公比 2.(1)等比中项 ab 诊断分析 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× [解析] (1)数列1,-1,1,-1从第二项起,每一项与它前一项的比都等于-1,∴数列1,-1,1,-1是等比数列. (2)当a1=0时,由所给递推公式,可知该数列为常数列,且数列中的各项都为0,此时{an}不是等比数列. (3)根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列. (4)根据等比数列的定义知,等比数列的首项、公比均不能为零. (5)当a,G,b成等比数列时,一定有G2=ab;反之,当G=a=b=0时,满足G2=ab,此时a,G,b不是等比数列. 知识点二 1.an=a1qn-1 2.(1)指数 一群孤立的点 (2)ka a 诊断分析 1.(1)× (2)√ (3)√ (4)× [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,则q4==4,可得q2=2,所以a3=a1·q2=2×2=4. (2)易知首项为1,公比为,则第10项为1×=. (3)设等比数列{an}的公比为q,由8a2-a5=0,可知=q3=8,解得q=2.又a1>0,所以数列{an}为递增数列. (4)等比数列的公比q=,但该数列是递增数列. 2.解:方法一(归纳法):由等比数列的定义,得a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,…,故当n≥2时,an=an-1q=a1qn-1,又当n=1时,a1=a1q0满足上式,故an=a1qn-1. 方法二(累乘法):将=q,=q,=q,…,=q(n≥2)这n-1(n≥2)个等式相乘,得···…·=qn-1(n≥2),化简得=qn-1(n≥2),即an=a1qn-1(n≥2),又当n=1时,上式成立,故an=a1qn-1. 【课中探究】 探究点一 探索 解:等比数列的通项公式an=a1qn-1反映了等比数列{an}的各项与其序号n之间的函数关系,可以看出,只要知道首项a1和公比q,就可以求出通项公式. 例1 (1)6 (2)3n-1 (3)2 (4)5 [解析] (1)∵an=a1qn-1=128,a1=4,q=2,∴4·2n-1=128,∴2n-1=32,∴n-1=5,得n=6. (2)因为a4=a1q3,所以27=q3,所以q=3,所以an=a1qn-1=3n-1. (3)设等比数列{bn}的公比为q,∵等比数列{bn}满足b1+b2=3,b1+b4=9,∴由②得b1(1+q3)=9,即b1(1+q)(1-q+q2)=9,把①代入得1-q+q2=3,解得q=2或q=-1.当q=-1时,b1+b2=3不成立,∴q=2. (4)∵an=a1qn-1=625,n=4,q=5,∴a1===5. 变式 (1)C (2)A (3)8,4,2或2,4,8 [解析] (1)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3-a2=3,a5-a3=18,所以a1q2-a1q=3,a1q4-a1q2=18,解得q=2,a1=,所以a5=a1q4=24,故选C. (2)因为数列{an+2n}是等比数列,且a1=0,a2=4,所以a1+21=2,a2+22=8,可得数列{an+2n}的公比q===4,所以{an+2n}是首项为2,公比为4 的等比数列,所以a6+26=2×45=211=2048,所以a6=2048-26=1984.故选A. (3)设这三个数所成的等比数列为,a,aq(aq≠0),则+a+aq=14,·a·aq=64,即a=14,a3=64,解得a=4,q=或q=2,故这三个数所成的等比数列为8,4,2或2,4,8. 探究点二 例2 D [解析] 由题意得,等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.当a1>0时,若q<0,则{an}为摆动数列;若0
1,则{an}为递增数列.当a1<0时,若q<0,则{an}为摆动数列;若01,则{an}为递减数列.综上,{an}为递减数列的充要条件是a1>0,01,故选D. 变式 (1)B (2)D [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,由a10,解得或此时数列{an}不一定是递增数列;若数列{an}为递增数列,可得或此时a10,显然q≠1.由a2=a1q<0得a1<0,又{an}是递增的等比数列,所以0