4.3.1 第2课时 等比数列的性质与应用（课件 学案 练习）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

第2课时　等比数列的性质与应用 【课前预习】 知识点一 2.am·an=ap·as　am·an= 知识点二 1.qk　2.q　3.q2　4.等比　等比 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)∵{an}是公比为q的等比数列,m+n=p,∴am·an=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2,又ap=a1qp-1,a1≠q,∴am·an≠ap. (2)若数列{an}是非零常数列,则结论不一定成立. (3)若{an}为1,-1,1,-1,…,{bn}为-1,1,-1,1,…,则{an},{bn}都是等比数列,但{an+bn}为0,0,0,0,…,显然不是等比数列. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)由等比数列的性质得=a2·a10,所以a10===13 122. (2)因为a3a5==4,且an>0,所以a4=2,所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4=···a4==27=128. (3)因为{an}是等比数列,所以a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,所以a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.设等比数列{an}的公比为q,当a4=4,a7=-2时,q3=-,a1+a10=+a7q3=-7;当a4=-2,a7=4时,q3=-2,a1+a10=+a7q3=-7.综上,a1+a10=-7. 变式　(1)A　(2)8　(3)5　[解析] (1)因为数列{an}是等比数列,a3a5a7a9==27,所以a2a10==3.故选A. (2)因为数列{an}是等比数列,a2a7=4,所以log2a1+log2a2+…+log2a8=log2(a1a2…a8)=log2=log244=8. (3)由根与系数的关系得a1a13+a4a11+a5a10+a2a14=25,又由等比数列的性质知a1a13=,a4a11=a5a10=a7a8,a2a14=,所以+2a7a8+=25,即(a7+a8)2=25.因为a7>0,a8>0,所以a7+a8=5. 拓展　D　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a3=10,a2+a4=5,所以=q==,所以a1+a3=a1+a1q2=a1=10,则a1=8,故an=a1qn-1=24-n,则数列{an}是递减数列.当an≥1时,n≤4,故(a1a2…an)max=a1a2a3a4=23+2+1+0=64.故选D. 探究点二 例2　(1)D　(2)AD　[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q.对于A,当k=0时,{kan}不是等比数列,故A错误;对于B,当q=-1时,an+an+1=0,{an+an+1}不是等比数列,故B错误;对于C,当P≠0时,{an+P}不是等比数列,故C错误;对于D,{an+an+1+an+2}是以a1+a2+a3为首项,q为公比的等比数列,故D正确.故选D. (2)设等比数列{an},{bn}的公比分别为p,q(p≠0,q≠0).对于A,∵ =pq是一个不为零的常数,∴数列{anbn}是公比为pq的等比数列,故A正确;对于B,数列{an+bn}不一定是等比数列,例如取an=2n,bn=-2n,则此时an+bn=0,数列{an+bn}不是等比数列,故B错误;对于C,∵=不是常数,∴{}不是等比数列,故C错误;对于D, ∵{an}是等比数列,∴an=a1·pn-1,则|an|=|a1|·|pn-1|,∴==|p|是一个不为零的常数,∴{|an|}是公比为|p|的等比数列,故D正确. 变式　ABD　[解析] 设等比数列{an}的公比为q.对于A,依题意,=q4,=q4,所以数列,,成等比数列,故A正确;对于B,可知数列a1·a2,a3·a4,a5·a6每项都不为0,且==q4,故B正确;对于C,当数列{an}为1,-1,1,-1,1,…时,a1+a2=a3+a4=a5+a6=0,故C错误;对于D,数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9的每一项都不为0,且==q3,故D正确.故选ABD. 探究点三 例3　解:(1)记2023年为第1年,从第1年起,这辆车每年的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an,由题意,得a1=13.5,a2=13.5×(1-10%),a3=13.5×(1-10%)2,…,由等比数列的定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9,∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1,∴n年后这辆车的价值为an+1=13.5×0.9n (万元). (2)由(1)得a5=a1·q 4=13.5×0.94≈8.9(万元),∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元. 变式　A　　[解析] 记2023年1月为第1个月,设从2023年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,则an+1=an+anm%,所以=1+m%, 所以数列{an}是首项a1=a,公比q=1+m%的等比数列,所以an=a(1+m%)n-1,所以2024年8月底该厂的生产总值为a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19(万元).故选A. 拓展　解:(1)由题可知,a1=1.5×16%+0.5×(1-4%)=0.72,an=(2-an-1)×16%+an-1×(1-4%)=0.8an-1+0.32(n≥2),∴an+1=0.8an+0.32. (2)an-1.6=0.8an-1 ... ...