第3课时 等比数列与等差数列的综合应用 【课中探究】 探究点一 例1 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则解得所以数列{an}的通项公式为an=1+(n-1)×2=2n-1. (2)证明:依题意得bn==22n=4n,因为==4,所以数列{bn}是首项为b1=41=4,公比为4的等比数列. 变式 (1)ACD (2) [解析] (1)由a1=1,q=2得an=2n-1,=,所以数列是等比数列且为递减数列,故A正确,B不正确;log2an=n-1 ,数列{log2an}是递增的等差数列,故C,D正确.故选ACD. (2)因为等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,所以公比q==,又a1+a3=a1+a1q2=10,解得a1=8,所以an=8×=24-n,log2an=log224-n=4-n,所以log2a1+log2a2+…+log2an=3+2+1+…+(4-n)==. 探究点二 例2 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, ∵a1=b1=3,a2=b2-2,a7=b3, ∴解得 ∴an=3+4(n-1)=4n-1,bn=3n. (2)由(1)得an=4n-1,bn=3n, ∴a20=79,令bn=3n≤79,解得n≤3, ∴等差数列{an}的前20项中只有2项与等比数列{bn}的项相同,为a1=b1=3,a7=b3=27,又a21=83,a22=87都不是数列{bn}中的项, ∴数列{cn}的前20项和为a2+a3+…+a22-27=-27=960. 变式1 (1)A (2)ACD [解析] (1)依题意,(a1+d)2=a1(a1+4d),即+2a1d+d2=+4a1d,∴d=2a1=2, ∴S8=8a1+d=8+56=64.故选A. (2)因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,所以a1+a6+a11=3a6=3π,即a6=π,b1b5b9==8,即b5=2.对于A,S11==11a6=11π,故A正确;对于B,a2+a10=2a6=2π,b4b6==4,所以sin=sin=1,故B错误;对于C,设等差数列{an}的公差为d,则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确;对于D,由b5=2得b3>0,b7>0,故b3+b7≥2=2=4,当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确.故选ACD. 变式2 解:(1)证明:设数列{an}的公差为d,则即解得b1=a1=,所以原命题得证. (2)若a1=1,则d=2,b1=1,所以an=2n-1,bn=2n-1. (3)由(1)知b1=a1=,由bk=am+a1,得a1×2k-1=a1+(m-1)d+a1, 因为a1≠0,所以m=2k-2∈[1,50],解得2≤k≤log250+2=3+log225, 又24=16,25=32,故4
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