4.5相似三角形判定定理的证明 1.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（ ） A.∠A＝55°，∠D＝35° B.AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 C.AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D.AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 2.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD＝1∶3，则BE∶EC＝（ ） A. B. C. D. 第2题图 3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则＝ . 第3题图 4.如图，在△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ） 第4题图 A B C D 5.如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ） 第5题图 A.∠B＝∠ACD B.∠ADC＝∠ACB C.＝ D.AC2＝AD·AB 6.如图，AB∥EF，AE∥BC，EF与AC交于点G，则图中相似三角形共有 对. 第6题图 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t＝ 秒时，△CPQ与△ABC相似. 第7题图 8.如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16. （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB. 9.如图，在△ABC中，边BC＝12 cm，高AD＝6 cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则正方形的边长x＝ cm. 第9题图 10.如图，已知△ABC和△AED均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AB相交于点F，如果AC＝12，CD＝4，那么BF的长度为 . 第10题图 11.定义】如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”.如图1，在 ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点. 【应用】（1）如图1，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点.若AF＝，CE＝2，则AE＝ ，AB＝ . （2）如图2，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点.若AB＝BD，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明. （3）如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝12，BE＝5. ①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上； ②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长. 参考答案 1.C 2.A 3. 4.C 5.C 6.3 7.4.8或 8.（1）解：∵AE＝4，AC＝16， ∴CE＝AC－AE＝16－4＝12. ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE， ∴＝， ∴CD＝＝＝24. （2）证明：∵＝＝，＝＝， ∴＝. ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB. 9.4 10. 11.解：（1）由题可知，AF＝AD＝BC， ∵AF∥BC， ∴△AEF∽△CEB， ∴＝＝. ∵CE＝2， ∴AE＝1. ∵BC＝2AF＝2， ∴BE＝＝4， ∴AB＝＝. 故答案为：1，. （2）AF＝CD，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∴△AED∽△FEB， ∴＝＝＝＝2. 设BE＝x，则DE＝2x， ∴AB＝BD＝3x， ∴AE＝＝2x， ∴EF＝AE＝x， ∴AF＝AE＋EF＝3x， ∴AF＝AB， ∴AF＝CD. （3）①第一种情况：如图1. 图1 第二种情况：如图2. 图2 第三种情况：如图3. 图3 ②若按照上图1作图，即如图4， 图4 由题意可知，∠ACB＝∠ACP，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ACB＝∠PAC， ∴∠PAC＝∠PCA. ∴△PAC是等腰三角形. 过点P作PH⊥AC于点H，则AH＝HC. ∵BE＝5，CE＝2AE＝12， ∴B'E＝BE＝5，AE＝6， ∴AH＝HC＝AC＝（AE＋CE）＝×（6＋12）＝9， ∴EH＝AH－AE＝9－6＝3. ∵PH⊥AC，BE⊥AC， ∴△CPH∽△CB'E， ∴＝，即PH＝＝＝， ∴ ... ...
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