单元素养测评卷(二)B 1.A [解析] 由题意得y'=(sin x)'=cos x,所以曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线的斜率k=cos 2π=1,所以曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线的方程是y-0=1×(x-2π),即x-y-2π=0.故选A. 2.D [解析] 因为f(x)=3f'(0)x+x2+ex-1,所以f(0)=e0-1=0,f'(x)=3f'(0)+2x+ex,则f'(0)=3f'(0)+e0,解得f'(0)=-,所以f'(0)+f(0)=-.故选D. 3.B [解析] 函数f(x)=ln x-x2的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-2x=,令f'(x)>0,得00,当x∈(0,x2)时,f'(x)<0,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,x1),(0,x2)上单调递减,在区间(x1,0),(x2,+∞)上单调递增,分析选项可知只有D符合题意.故选D. 5.C [解析] 由题意得f'(x)=(x-2)ex+x-2=(x-2)(ex+1),则当x>2时,f'(x)>0,当x<2时,f'(x)<0,即f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当x=2时,f(x)取得最小值.由题意有2m-2<2<3+m,解得-10,当x∈(8,10]时,g'(x)<0,故函数g(x)在(0,8)上单调递增,在(8,10]上单调递减,所以当x=8时,函数g(x)取得最大值,所以要使利润最大,每年需种植莲藕8万斤.故选B. 7.C [解析] 设切点坐标为(x0,x0ln x0),对f(x)=xln x求导得f'(x)=ln x+1,所以切线的斜率a=ln x0+1,切线方程为y-x0ln x0=a(x-x0),即y=ax-x0,所以b=-x0,所以=.令g(x)=(x>0),则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)有最大值g(e)=,无最小值,即有最大值,无最小值.故选C. 8.A [解析] 不等式f(x)>1+即为e2x-2f(x)-e2x-2-2024>0,设函数g(x)=e2x-2f(x)-e2x-2-2024,则不等式即为g(x)>0.因为2f(x)+f'(x)>2,所以g'(x)=2e2x-2f(x)+e2x-2f'(x)-2e2x-2=e2x-2[2f(x)+f'(x)-2]>0,因此函数g(x)在R上是增函数.由f(1)=2025,得g(1)=f(1)-1-2024=0,则不等式即为g(x)>g(1),解得x>1,所以不等式f(x)>1+的解集是(1,+∞).故选A. 9.ACD [解析] 对于A,(e3)'=0,故A中求导错误; 对于B,(3xln x)'=3ln x+3x·=3ln x+3,故B中求导正确; 对于C,'=,故C中求导错误; 对于D,(e2x+1)'=e2x+1·(2x+1)'=2e2x+1,故D中求导错误. 故选ACD. 10.ABD [解析] 函数f(x)=ln(cos x)+sin2x,-+2kπ0,所以f(x)在上单调递增,故B正确;对于C选项,当x→时,cos x→0,ln(cos x)→-∞,sin2x→1,则f(x)→-∞,所以f(x)没有最小值,故C不正确;对于D选项,因为f(x)=ln(cos x)+sin2x的最小正周期为2π,且f(x)是偶函数,其定义域为(k∈Z),所以只需研究函数f(x)在上的最大值,由B选项知f(x)在上单调递增,而当x∈时,cos x∈,2cos x->0,sin x≤0,所以f'(x)=sin x·≤0,所以f(x)在上单调递减,则f(x)的最大值为f=ln+=,故D正确.故选ABD. 11.ABD [解析] 由f(x1)=g(x2)=k(k<0),得=<0,又因为x1∈(0,+∞),x2∈R,所以x1∈(0,1),x2∈(-∞,0),则x1+x2<1,故A正确;由=<0,得=>0,两边同时取自然对数可得ln(-ln x1)-ln x1=ln(-x2)-x2,因为函数y=ln x+x在(0,+∞)上为增函数,所以-ln x1=-x2,即ln x1=x2,故B正确;==k<0,故·ek=k2·ek,设h(k)=k2·ek(k<0),则h'(k)=2k·ek+k2·ek=k·ek(k+2),由h'(k)>0,得k<-2,由h'(k)<0,得-2
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