【学霸笔记：同步精讲】第6章 6.4 6.4.1 用样本估计总体的集中趋势 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

6.4　用样本估计总体 6.4.1　用样本估计总体的集中趋势 学习任务 核心素养 1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势．(重点、难点) 2．理解集中趋势参数的统计含义．(重点、难点) 1．通过对数据平均数、中位数、众数概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过利用平均数、中位数、众数估计总体的集中趋势，培养直观想象素养． 现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12． 三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？ 知识点1　平均数 (1)定义：若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数＝．平均数也称均值． (2)总体均值与样本均值 总体均值是总体指标，是一个固定的量．而样本均值依赖于样本的选择，不同的样本通常有不同的样本均值，样本均值带有随机性．在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值会向总体均值μ接近，称为μ的估计． (3)平均数与频率的关系 一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f 1，f 2，…，f n，则其平均数为x1f1＋x2f2＋…＋xnfn． (4)分层抽样中的总体均值与样本均值 在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL． 称Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权． 对i＝1，2，…，L，用表示从第i层抽出样本的均值．称＝W1＋W2＋…＋WL是总体均值μ的简单估计． 1．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为(　　) A．1.57 m　 B．1.56 m　 C．1.55 m　 D．1.54 m B　[因为从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m，从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m，所以这500名13岁男孩的平均身高是＝1.56(m)，据此可估计我国13岁男孩的平均身高为1.56 m．] 2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为_____． 6　[＝6．] 知识点2　众数、中位数 1．定义 (1)众数：观测数据中出现次数最多的数是众数，用Mo表示． (2)中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，称处于中间位置的数是中位数，用Me表示．当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的平均数即为中位数． 2．众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受数据组中极端值的影响，具有较好的稳定性 对极端值不敏感，没有利用数据中的所有信息 众数 反映一组数据的集中趋势 众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响，没有利用数据中的所有信息 (1)中位数一定是样本数据中的一个数吗？ (2)一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？ [提示]　(1)不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数是中位数． (2)一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的． (　　) (2)描述一组数据集中趋势的数字特征可以是平均数、中位数和众数． (　　) (3)若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 4．一组 ... ...